В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих, 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и полузащитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?
Решение:
В футбольной команде «Спартак» 30 игроков. Пусть \(A\) - количество нападающих, \(P\) - количество полузащитников, \(D\) - количество защитников и \(G\) - количество вратарей.
Известные данные: - \(A = 18\) (количество нападающих), - \(P = 11\) (количество полузащитников), - \(D = 17\) (количество защитников), - \(A \cap D = 3\) (трое могут быть нападающими и защитниками), - \(D \cap P = 10\) (10 защитниками и полузащитниками), - \(A \cap P = 6\) (6 нападающими и полузащитниками), - \(A \cap D \cap P = 1\) (1 и нападающим, и защитником, и полузащитником).
Итак, общее количество игроков можно найти как объединение множеств:
\[N = A \cup P \cup D \cup G.\]
Согласно принципу включения-исключения:
\[N = A + P + D + G - (A \cap D) - (D \cap P) - (A \cap P) + A \cap D \cap P.\]
Подставляем известные значения:
\[30 = 18 + 11 + 17 + G - 3 - 10 - 6 + 1.\]
Решая это уравнение, найдем количество вратарей:
\[G = 30 - 18 - 11 - 17 + 3 + 10 + 6 - 1 = 2.\]
Итак, в команде «Спартак» 2 вратаря.