Сила F приложена к точке А. Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка её приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку В; b) модуль момента силы F относительно точки В. F=(5;−3;9),A(3;4;−6),B(2;6;5).
Решение:
Для вычисления работы силы \(F\), необходимо использовать формулу для работы векторной силы:
\[W = \vec{F} \cdot \vec{d}\]
где \(\vec{F}\) - вектор силы, а \(\vec{d}\) - вектор перемещения точки \(A\) в точку \(B\).
Сначала найдем вектор \(\vec{d}\), который будет равен разности координат точек \(B\) и \(A\):
\[\vec{d} = \vec{B} - \vec{A} = (2 - 3, 6 - 4, 5 - (-6)) = (-1, 2, 11)\]
Теперь мы можем вычислить скалярное произведение вектора силы \(\vec{F}\) и вектора перемещения \(\vec{d}\):
\[W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (5, -3, 9) \cdot (-1, 2, 11) = -5 - 6 + 99 = 88\]
Ответ: работа силы \(F\) при перемещении точки \(A\) в точку \(B\) составляет 88 джоулей.
Для вычисления модуля момента силы относительно точки \(B\), воспользуемся следующей формулой:
\[M_B = |\vec{r}_{AB} \times \vec{F}|\]
где \(\vec{r}_{AB}\) - вектор, направленный от точки \(A\) к точке \(B\), \(\times\) - оператор векторного произведения.
Сначала найдем вектор \(\vec{r}_{AB}\) как разницу координат точек \(B\) и \(A\):
\[\vec{r}_{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-1, 2, 11)\]
Теперь вычислим векторное произведение \(\vec{r}_{AB} \times \vec{F}\):
\[\vec{r}_{AB} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 11 \\ 5 & -3 & 9 \end{vmatrix} = (\hat{i} \cdot 33 - \hat{j} \cdot 55 + \hat{k} \cdot 7)\]
\[\vec{r}_{AB} \times \vec{F} = (-33\hat{i} + 55\hat{j} + 7\hat{k})\]
Теперь найдем модуль этого вектора:
\[|M_B| = |\vec{r}_{AB} \times \vec{F}| = \sqrt{(-33)^2 + (55)^2 + (7)^2} = \sqrt{1089 + 3025 + 49} = \sqrt{4163} \approx 64.52\]
Ответ: модуль момента силы \(F\) относительно точки \(B\) составляет примерно 64.52 единицы измерения (например, ньютон-метры).