Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?
Решение:
Для того чтобы составить различные дроби, используя числа 3, 5, 7, 11, 13, 17, и включая в каждую дробь 2 различных числа, мы можем взять все возможные комбинации по 2 числа из данного набора.
Количество таких комбинаций можно вычислить с помощью сочетаний. Формула для сочетаний из n элементов по k элементов выглядит следующим образом:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
Где "n" - общее количество элементов, "k" - количество элементов, которые мы выбираем для сочетания, и "!" обозначает факториал числа.
В данном случае, у нас есть 6 чисел (n = 6), и мы выбираем 2 числа для дробей (k = 2):
C(6, 2) = 6! / (2! * (6 - 2)!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15
Таким образом, можно составить 15 различных дробей из данных чисел.
Теперь давайте определим, сколько среди них будет правильных дробей. Правильная дробь - это дробь, в которой числитель меньше знаменателя и их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.
Из данного набора чисел (3, 5, 7, 11, 13, 17) только числа 3, 5 и 7 могут быть числителем правильной дроби, так как они меньше всех остальных чисел.
Таким образом, количество правильных дробей будет равно количеству способов выбрать одно из трех чисел в качестве числителя, и одно из пяти оставшихся чисел в качестве знаменателя:
Правильные дроби = C(3, 1) * C(5, 1) = 3 * 5 = 15
Из 15 различных дробей, которые мы можем составить, все 15 могут быть правильными.