Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9. Найти MX.
Решение:
Для составления закона распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах воспользуемся биномиальным распределением. В данном случае, вероятность попадания при одном выстреле (пусть это будет "p") равна 0,9, а количество выстрелов (пусть это будет "n") равно 4.
Закон распределения вероятности для биномиального распределения задается формулой:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
где: - P(X = k) - вероятность того, что случится k попаданий в цель при 4 выстрелах, - C(n, k) - биномиальный коэффициент (число сочетаний из n элементов по k), - p - вероятность попадания при одном выстреле (0,9), - (1-p) - вероятность не попасть при одном выстреле (1 - 0,9 = 0,1).
Для каждого значения k от 0 до 4 рассчитаем P(X = k) и составим закон распределения:
P(X = 0) = C(4, 0) * 0,9^0 * 0,1^4 = 1 * 1 * 0,0001 = 0,0001 P(X = 1) = C(4, 1) * 0,9^1 * 0,1^3 = 4 * 0,9 * 0,001 = 0,0036 P(X = 2) = C(4, 2) * 0,9^2 * 0,1^2 = 6 * 0,81 * 0,01 = 0,0486 P(X = 3) = C(4, 3) * 0,9^3 * 0,1^1 = 4 * 0,729 * 0,1 = 0,2916 P(X = 4) = C(4, 4) * 0,9^4 * 0,1^0 = 1 * 0,6561 * 1 = 0,6561
Теперь мы имеем закон распределения вероятности для числа попаданий в цель при 4 выстрелах:
Теперь найдем математическое ожидание MX. Для биномиального распределения оно вычисляется по формуле:
MX = n * p
где n - количество выстрелов (в данном случае 4), а p - вероятность попадания при одном выстреле (0,9).
MX = 4 * 0,9 = 3,6
Итак, математическое ожидание числа попаданий при четырех выстрелах равно 3,6.