Вариант 1.
№1. Точка S не лежит в плоскости ромба АВСД. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков SB и SC, параллельна прямой АД.
№2. Дан равносторонний треугольник АВС со стороной 6 см. Из вершины А восстановлен перпендикуляр АР к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки Р до прямой ВС, если расстояние от Р до плоскости треугольника АВС равно 13 см.
№3. Из данной точки к плоскости α проведены две равные наклонные, угол между ними равен 60 градусов. Какой угол образуют наклонные с плоскостью α, если их проекции взаимно перпендикулярны.
Теория: 1) понятие угла между плоскостями, 2) теорема о равенстве углов с сонаправленными сторонами.
Вариант 2.
№1. Точка М не принадлежит плоскости параллелограмма АВСД. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков МА и МВ, параллельна прямой СД.
№2. Дан квадрат PQRS со стороной 4 дм. Из вершины Р восстановлен перпендикуляр РМ к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки М до прямой QS, если расстояние от точки М до плоскости квадрата равно 8 дм.
№3. Из данной точки к плоскости проведены перпендикуляр, длина которого равна 1 дм, и две равные наклонные. Найдите длины этих наклонных, если угол между ними равен 60 градусам, а их проекции взаимно перпендикулярны.
Теория: 1) понятие угла между прямыми, 2) признак перпендикулярности плоскостей.
Вариант 3.
№1. Даны два прямоугольника АВСД и АВЕФ, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что четырёхугольник СЕФД также является прямоугольником.
№2. Из центра О окружности, вписанной в треугольник, восстановлен перпендикуляр ОС к плоскости этого треугольника. Найдите радиус окружности, если расстояния от точки С до одной из сторон треугольника и до плоскости треугольника равны 1,2 м и 1,3 м соответственно.
№3. Из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные, длины которых равны 10 м и 11 м. Найдите длину перпендикуляра, если проекции проведённых наклонных относятся как 2:5.
Теория: 1) понятие угла между прямой и плоскостью, 2) свойства параллельных плоскостей.
Вариант 4.
№1. Даны квадраты PQRS и PQAB, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что четырёхугольник BSRA является прямоугольником.
№2. Из центра О окружности, вписанной в трапецию, восстановлен перпендикуляр ОМ к плоскости трапеции. Найдите радиус окружности, если расстояние от точки М до одной из сторон трапеции и до её плоскости равны 3 см и 3,4 см соответственно.
№3. Из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные, проекции которых равны 4 см и 11 см. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные относятся как 2:5.
Теория: 1) понятие двугранного угла, его градусная мера,
2) теорема о трёх перпендикулярах.