18. Даны четыре точки, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две из данных точек проведена прямая. Сколько прямых проведено? 19. Точки A, B, С лежат на одной прямой, а точка D не лежит на этой прямой. Через каждые две из данных точек проведена прямая. Сколько всего прямых проведено? 20. По пути из Днепропетровска в Харьков автомобиль проезжает Красноград, а по пути из Краснограда в Днепропетровск — Перещепино. Какой из этих городов расположен на пути из Харькова в Перещепино? 21. На прямой отмечены точки X, Y, Z, причем точки X и Y лежат по одну сторону от точки Z, а точки X и Z — по одну сторону от точки Y. Какая из трех точек лежит между двумя другими? 22. Точка С лежит на луче AB, а точка B — на луче CA. Какая из этих трех точек лежит между двумя другими? 23. Точки A, B и С лежат на одной прямой, причем лучи AB и AC не являются дополнительными, а точки A и С лежат по одну сторону от точки B. Какая из этих трех точек лежит между двумя другими? 24. Могут ли два луча одной прямой не быть дополнительными? Сделайте рисунок. 25. Два луча имеют единственную общую точку. Будут ли такие лучи дополнительными? Сделайте рисунки.
26. Сколько прямых трасс необходимо проложить, чтобы соединить любые два из четырех городов? Рассмотрите все возможные случаи. Сделайте рисунки. 27. Даны три прямые, причем любые две из них пересекаются. Сколько точек пересечения может при этом образоваться? Рассмотрите все возможные случаи. Сделайте рисунки. 28. Как должны быть расположены на плоскости n точек, чтобы они определяли ровно n прямых, если n > 2? 29. На прямой отмечены три точки A, B и С. Сколько разных лучей можно назвать с помощью этих точек? Сколько среди этих лучей пар дополнительных лучей? Изменится ли ответ, если данные точки не лежат на одной прямой?
30. На прямой точка B лежит между точками A и С. Существует ли на этой прямой точка, которая лежит между точками: а) A и B, но не лежит между точками A и С; б) A и С, но не лежит между точками A и B? 31. На прямой отмечены пять точек. Определите, какие из данных утверждений верны: а) любые три из данных точек лежат между двумя другими; б) среди данных точек найдутся три, лежащие между двумя другими; в) среди данных точек существует по крайней мере одна, не лежащая между двумя другими данными точками; г) среди данных точек существует ровно одна, не лежащая между двумя другими данными точками.
41. На прямой точка M лежит между точками K и N. Найдите длину отрезка: а) KN, если KM = 2 9, см, MN = 4 1, см; б) MN, если KN = 8 3, см, KM = 5 8, см. 42. Точки B и С лежат на отрезке AD, равном 10 см. Найдите длину отрезка BC, если AB = 2 4, см, CD = 3 6, см. 43. На отрезке MN отмечены точки P и R так, что MP = = PR RN. Сделайте рисунок. Какие еще равные отрезки с концами в данных точках образовались на рисунке? 44. На прямой точка B лежит между точками A и C. Какие из отрезков с концами в данных точках могут быть равными? Ответ обоснуйте.
45. На луче с началом A отмечены точки B и C так, что AB = 6 4, см, BC = 2 6, см. Какой может быть длина отрезка AC? Рассмотрите два возможных случая расположения точек на луче. 46. На луче CD отмечена точка E. Найдите длину отрезка CE, если CD = 8 м, DE = 6 2, м. Сколько решений имеет задача? 47. На прямой отмечены точки P, R и S, причем PR PS < < RS. Какая из этих трех точек лежит между двумя другими? Ответ обоснуйте.
48. На прямой точка M лежит между точками K и N. Найдите длины отрезков: а) KM и MN, если KN = 24 см, а отрезок KM больше отрезка MN на 8 см; б) KM и KN, если MN = 9 см, а KN KM : : = 7 4. 49. Точки B и С лежат на отрезке AD. Найдите длину отрезка BC, если AD = 10 см, AB = 6 8, см, CD = 8 3, см. 50. На отрезке MN отмечены точки A и B так, что MA = 7 мм, AB = 4 3, мм, BN = 5 1, мм. Найдите длину отрезка MN. Рассмотрите все возможные случаи. 51. На луче с началом A отмечены точки B, С и D, причем AB = 4 см, BC = 5 2, см, CD = 2 4, см. Какой может быть длина отрезка AD? Рассмотрите все возможные случаи. 52. Точка С — середина отрезка AB, а точка D — середина отрезка AC. Найдите длину отрезка: а) BD, если AC = 16 см; б) AB, если BD = 12 см. 53. На прямой отмечены точки M, N и K, причем отрезок MN больше NK, а отрезок NK не является наименьшим среди образовавшихся отрезков. Какой из полученных отрезков наименьший? Ответ обоснуйте. 54. Точки A, B и C лежат на одной прямой. Назовите наибольший из отрезков с концами в этих точках, если точка C лежит на луче AB, а точка B лежит на луче CA. Ответ обоснуйте.
55. На прямой отмечены точки A и B, расстояние между которыми составляет 6 см. Укажите расположение на этой прямой всех точек M таких, что: а) AM + = MB 8 см; б) AM + = MB 6 см; в) AM = 2MB. 56. Отрезок разделен тремя точками на четыре части, каждая из которых равна a. Сколько при этом образовалось равных отрезков, длина которых не равна a? Укажите их длины. 57. Точка C лежит на отрезке AB. Докажите, что расстояние между серединами отрезков AC и CB не зависит от расположения точ ки C. Найдите это расстояние, если AB = 20 см. 58. Точка C лежит на отрезке AB. Найдите длину отрезка AB, если расстояние между серединами отрезков AC и CB равно 5 см. 59. Отрезки AB и CD лежат на одной прямой. Докажите, что если они имеют общую середину, то AC = BD. 60. На прямой отмечены точки A, B, C и D, причем AB = CD. Образовались ли при этом другие равные отрезки с концами в этих точках? Если да, то докажите их равенство.
61. Из точки A проведены лучи AB и AC, не являющиеся дополнительными. Обязательно ли эти лучи будут совпадать? 62. Отрезки BD и DK имеют единственную общую точку D. а) Обязательно ли точка D лежит между точками B и K? б) Может ли некоторая прямая, не проходящая через точку D, пересекать оба данных отрезка?
63. Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Может ли угол ABC быть развернутым? 64. Определите, каким (острым, прямым, тупым или развернутым) является угол, который образуют стрелки часов в 3 часа; в 8 часов; в 11 часов; в 6 часов. 65. Назовите градусную меру угла, на который поворачивается: а) минутная стрелка часов в течение 15 минут; 30 минут; 10 минут; б) часовая стрелка часов в течение 3 часов; 1 часа; 30 минут. 66. Луч l делит угол (mn) на два угла. Сравните углы (ml) и (mn). 67. На рис. 28 назовите все острые углы; все прямые углы; все тупые углы. 68. Может ли сумма градусных мер двух острых углов быть: а) меньше градусной меры прямого угла; б) равной градусной мере прямого угла; в) больше градусной меры прямого угла; г) больше градусной меры развернутого угла? 69. Луч b — биссектриса неразвернутого угла (ac). Может ли угол (ab) быть прямым; тупым?
70. Начертите угол ABC, равный 100°. а) Проведите биссектрису BD этого угла. Какова градусная мера угла DBC? б) Перегните рисунок по прямой BD. Совпадают ли лучи BA и BC? Как это объяснить?
71. Начертите на отдельном листе острый угол (ab) и проведите из его вершины луч c, делящий этот угол на два угла. а) С помощью транспортира измерьте все образовавшиеся углы и сравните градусные меры углов (ac) и (cb). б) Покажите с помощью наложения, какой из углов меньше: (ac) или (cb).
72. Луч b делит угол (ac) на два угла. Найдите: а) угол (ac), если ∠(ab) = ° 63 , ∠(bc) = ° 63 ; б) угол (ab), если ∠(ac) = ° 109 , ∠(bc) = ° 28 . 73. Лучи OB и OC делят угол AOD на три угла. Найдите угол BOC, если ∠ = AOD 142°, ∠ = AOB 12°, а угол COD прямой. 74. Может ли луч b делить угол (ac) на два угла, если ∠(bc) = ° 70 , ∠(ac) = ° 65 ? Ответ обоснуйте. 75. Луч BD — биссектриса угла ABC. Найдите углы ABC и ABD, если угол ABC больше угла DBC на 38°. 76. Луч b — биссектриса угла (ac). Найдите: а) угол (ac), если ∠(bc) = ° 52 ; б) угол (ab), если ∠(ac) прямой.
77. Луч b делит угол (ac), равный 150°, на два угла. Найдите углы (ab) и (bc), если: а) угол (ab) меньше угла (bc) на 40°; б) градусные меры углов (ab) и (bc) относятся как 2 : 3. 78. Луч OB делит угол AOC, равный 120°, на два угла. Найдите углы AOB и BOC, если: а) угол BOC больше угла AOB в 5 раз; б) градусные меры углов AOB и BOC относятся как 3 : 5. 79. Лучи OB и OC делят угол AOD на три угла. Найдите угол BOC, если ∠ = AOD 110°, ∠ = AOC 85°, ∠ = BOD 60°. 80. Угол (ad) разделен лучами b и c на три угла. Найдите угол (ac), если ∠(ab) = ° 28 , ∠(bd) = ° 92 , ∠(cd) = ° 44 .
81. Луч l — биссектриса угла (mn). Найдите угол (mn), если угол между биссектрисами углов (ml) и (ln) равен 70°. 82. Луч OB — биссектриса угла AOC, а луч OE — биссектриса угла BOC. Найдите угол AOC, если угол AOE прямой.
83. Луч OK делит угол MON на два угла. Найдите угол MON, если угол между биссектрисами углов MOK и KON равен 40°. 84. Из данной точки проведены три луча так, что углы между любыми двумя из них равны. Найдите эти углы. 85. Из данной точки проведено несколько лучей так, что угол между любыми двумя соседними лучами равен 72°. Сколько всего лучей проведено?
86. На плоскости отмечены точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Существует ли прямая, которая проходит через точку A, а) пересекает прямую BC, но не пересекает луч BC; б) пересекает луч BC, но не пересекает прямую BC; в) не пересекает прямую BC? Выскажите предположения. 87. Внутри острого угла ABC отмечена точка D. Определите, какие из данных утверждений верны. а) Существует прямая, которая проходит через точку D, пересекает луч BA и не пересекает луч BC. б) Существует прямая, которая проходит через точку D, пересекает луч BA и не пересекает прямую BC. в) Существует прямая, которая проходит через точку D и не пересекает ни одну из прямых BA и BC. Изменятся ли ответы, если угол ABC будет прямым; тупым; развернутым? Выскажите предположения.
88. Известно, что a b|| . Означает ли это, что b a|| ? 89. Два отрезка не имеют общих точек. Означает ли это, что данные отрезки обязательно параллельны? 90. Прямые KM и EF параллельны. Могут ли лучи MK и FE пересекаться? 91. На плоскости проведены три параллельные прямые. Может ли некоторая четвертая прямая: а) пересекать только одну из данных прямых; б) пересекать только две из данных прямых; в) не пересекать ни одной из данных прямых? 92. Можно ли провести два луча с началом в точке вне данной прямой, которые были бы параллельны данной прямой? Какими должны быть эти лучи?
93. С помощью двусторонней линейки проведите параллельные прямые a и b. а) Отметьте на прямой a точку A. Можно ли провести через точку A другую прямую, параллельную прямой b? Почему? б) Постройте отрезок AD, параллельный прямой b. Лежит ли точка D на прямой a? в) Проведите через точку A прямую c, не совпадающую с прямой a. Пересекаются ли прямые b и c? Почему? 94. С помощью двусторонней линейки проведите параллельные прямые a и b. а) Проведите прямую c, параллельную прямой a. Параллельны ли прямые b и c? Почему? б) Отметьте на прямой c точки A, B и C. Назовите два луча, параллельные прямой b.
95. Даны прямая a и точки A, B и C (рис. 34). Сколько прямых, параллельных прямой a, можно провести через данные точки? Проведите все такие прямые. Могут ли они пересекаться? Ответ обо снуйте. 96. Прямая параллельна одной из двух параллельных прямых. Может ли она пересекать вторую прямую? Ответ обоснуйте. 97. Две прямые параллельны. Докажите методом от противного, что любая третья прямая не может пересекать обе данные прямые в одной и той же точке. 98. Докажите методом от противного утверждение: «Если прямая параллельна одной из сторон неразвернутого угла, то она не может быть параллельна другой его стороне».
99. Три параллельные шоссейные трассы пересекаются двумя другими параллельными трассами. Сколько пересечений образовалось? 100. На плоскости проведены прямые a, b, c и d, причем a b|| , c d|| . Прямые a и c пересекаются. Сколько всего точек пересечения имеют данные прямые? 101. Через точку, не лежащую на прямой c, проведены четыре прямые. Сколько из них могут пересекать прямую c? Рассмотрите все возможные случаи. 102. На плоскости проведены четыре прямые, причем три из них имеют одну общую точку. Сколько пар параллельных прямых может образоваться на плоскости? Рассмотрите все возможные случаи. 103. Прямая a параллельна прямой b и не параллельна прямой c. Докажите, что прямые b и c пересекаются. 104. Прямые a и b пересекаются, прямая c параллельна прямой b. Докажите, что любая прямая, параллельная прямой a, пересекает прямые b и c.
105. На плоскости проведено несколько прямых, причем никакие три из них не пересекаются в одной точке. Всего образовалось три точки пересечения. Сколько прямых проведено? Рассмотрите все возможные случаи. 106. На плоскости проведены три прямые. При этом образовалось две точки пересечения. Докажите, что среди данных прямых есть параллельные. 107. На плоскости проведены четыре прямые. При этом образовалось шесть точек пересечения. Докажите, что среди данных прямых нет параллельных.
108. Лучи b и c делят развернутый угол (ad) на три угла. Найдите угол (bd), если ∠(ac) = ° 135 , ∠(bc) = ° 20 . Сколько решений имеет задача? 109. Луч OA1 является дополнительным к стороне OA угла AOB. Найдите угол AOB, если он равен углу A O1 B.
110. Два угла имеют общую сторону. Означает ли это, что: а) данные углы имеют общую вершину; б) сумма этих углов равна 180°? 111. Могут ли оба смежных угла быть: а) острыми; б) прямыми; в) тупыми?
112. Лучи b и c делят развернутый угол (ad) на три угла (рис. 42). Сколько пар смежных углов при этом образовалось? Назовите эти углы. 113. Рисунок, на котором изображены смежные углы, перегнули по прямой, содержащей их общую сторону. При этом другие стороны данных углов совпали. Найдите данные смежные углы. 114. Найдите угол, смежный с углом, равным: 30°; 60°; 90°; 135°.
115. Начертите развернутый угол (ab). а) Из вершины этого угла проведите луч c так, чтобы угол (ac) был тупым. Назовите образовавшиеся смежные углы. б) Измерьте транспортиром угол (cb) и вычислите градусную меру угла (ac), пользуясь теоремой о смежных углах. в) Проведите луч d, делящий угол (ac) на два угла. Сколько пар смежных углов образовалось на рисунке? 116. Начертите угол ABC, равный 45°. а) Проведите луч BD так, чтобы углы DBA и ABC были смежными. Найдите градусную меру угла DBA. б) Проведите луч BM, делящий угол DBA на два угла, один из которых равен углу ABC. Сколькими способами это можно сделать? Будут ли равные углы смежными?
117. Две прямые пересекаются. Сколько пар смежных углов при этом образовалось? 118. Через вершину неразвернутого угла проведена прямая, содержащая его биссектрису. Сколько пар смежных углов при этом образовалось?
119. Найдите смежные углы, если: а) их градусные меры относятся как 5 : 31; б) их разность равна 70°. 120. Найдите смежные углы, если один из них: а) втрое больше другого; б) на 20° меньше другого. 121. Биссектриса делит угол AOB на два угла, один из которых равен 50°. Найдите градусную меру угла, смежного с углом AOB. 122. Углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 — две пары смежных углов. Сравните углы 2 и 4, если ∠ > 1 3 ∠ . 123. На рис. 43 ∠ = AOB 72°, ∠ = COD 37°. Найдите угол BOC.
124. Найдите данный угол, если сумма двух смежных с ним углов равна 240°. 125. Биссектриса угла образует с лучом, дополнительным к стороне данного угла, угол 130°. Найдите данный угол. 126. Найдите угол, сторона которого образует с лучом, дополнительным к биссектрисе данного угла, угол 165°. 127. Лучи b и c делят развернутый угол (ad) на три угла (рис. 42). Найдите наибольший из этих углов, если ∠(ac) = ° 160 , ∠(bd) = ° 140 . 128. Найдите угол BOC (рис. 43), если ∠ = BOD 112°, ∠ = AOC 138°.
129. Разность двух смежных углов относится к одному из них как 5 : 2. Найдите эти смежные углы. 130. Биссектриса данного угла образует с его стороной угол, равный углу, смежному с данным. Найдите данный угол. 131. Найдите угол между биссектрисами смежных углов.
132. Сумма двух углов, имеющих общую сторону, равна 180°. Обязательно ли эти углы смежные? 133. Если биссектрисы углов AOB и BOC образуют прямой угол, то точки A, O и C лежат на одной прямой. Докажите.
134. Углы (mn) и (kp) являются смежными с углом (np). Среди лучей m, n, k, p назовите пары дополнительных лучей. 135. Углы (ab) и (bc) смежные. Углы (bc) и (cd) также смежные, причем ∠(cd) = ° 32 . Найдите углы (ad) и (ab)
136. Могут ли две прямые при пересечении образовать три острых угла; только один тупой угол; четыре прямых угла? 137. Верно ли утверждение: «Два равных угла с общей вершиной являются вертикальными»? 138. Углы 1 и 2 образовались при пересечении двух неперпендикулярных прямых. Определите, являются ли эти углы смежными или вертикальными, если: а) их сумма больше 180°; б) лишь один из них острый; в) их сумма меньше суммы двух других полученных углов. 139. Градусные меры двух смежных углов — α и β. Могут ли α и β быть градусными мерами двух вертикальных углов? В каком случае? 140. При пересечении двух прямых образовался тупой угол α. Чему равен угол между данными прямыми? 141. При пересечении двух прямых образовались четыре угла, ни один из которых не является острым. Под каким углом пересекаются данные прямые? 142. Через точку пересечения двух перпендикулярных прямых a и b проведена прямая c. Может ли она быть перпендикулярна какой-либо из прямых a и b?
143. Начертите прямые a и b, пересекающиеся в точке O под углом 80°. а) Выделите цветом все пары вертикальных углов, образовавшихся на рисунке. Каковы градусные меры этих углов? б) Проведите через точку O прямую, перпендикулярную прямой a. Будет ли эта прямая перпендикулярна прямой b? 144. Начертите перпендикулярные прямые a и b, пересекающиеся в точке O. а) Отметьте на прямой a точку B. С помощью угольника проведите через эту точку прямую c, перпендикулярную прямой a. б) Параллельны ли прямые b и c? Почему?
145. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 125°. Найдите остальные углы. Чему равен угол между данными прямыми? 146. Найдите все углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых, если: а) биссектриса отсекает от одного из них угол 23°; б) один из этих углов втрое больше другого. 147. Найдите все углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых, если: а) сумма двух из них равна 320°; б) один из этих углов на 50° меньше другого. 148. Перпендикулярные прямые AB и CD пересекаются в точке K. Назовите: а) три отрезка, перпендикулярных прямой CD; б) четыре луча, перпендикулярных отрезку AK. 149. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, тупой. Докажите методом от противного, что ни один из остальных образовавшихся углов не может быть прямым. 150. При пересечении двух прямых образовались четыре угла, один из которых прямой. Докажите, что остальные углы также являются прямыми. 151. Прямые a и b перпендикулярны. Прямая с проходит через точ ку их пересечения и образует с прямой a угол 70°. Найдите угол между прямыми c и b. 152. Прямая c проходит через точку пересечения прямых a и b, причем прямые a и b пересекаются под углом 25°, прямые a и c перпендикулярны. Найдите угол между прямыми b и c.
153. Найдите все углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых, если: а) сумма трех из них равна 295°; б) градусные меры двух из этих углов относятся как 4 : 5.
154. Найдите угол между двумя пересекающимися прямыми, если: а) сумма двух образовавшихся углов на 80° меньше суммы двух других углов; б) один из образовавшихся углов вдвое меньше суммы трех остальных углов. 155. Три прямые пересекаются в одной точке так, что два из образовавшихся при пересечении углов равны 56° и 39° (рис. 52). Найдите остальные четыре угла между соседними лучами. 156. Две прямые пересекаются в точке O. Биссектриса одного из углов, образовавшихся при пересечении, составляет с одной из данных прямых угол 72°. Найдите угол, под которым пересекаются данные прямые. 157. Даны прямые a, b, c и d, причем a c ⊥ , b c ⊥ , a d|| . Докажите, что прямые b и d параллельны. 158. Прямые a и b пересекаются, а прямая c перпендикулярна прямой a. Докажите, что прямые b и c не могут быть перпендикулярными.
159. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен сумме двух других углов. Найдите угол между данными прямыми. 160. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов являются дополнительными полупрямыми. 161. Два равных угла имеют общую вершину, а их биссектрисы являются дополнительными лучами. Докажите, что эти углы вертикальные. 162. Через точку пересечения двух перпендикулярных прямых проведена третья прямая. Найдите наименьший из тупых углов, которые образовались при пересечении этих трех прямых, если наибольший из образовавшихся тупых углов равен 165°. 163. Через точку на плоскости проведены пять прямых. Какое наибольшее количество пар перпендикулярных прямых может быть среди данных прямых?
164. Отрезки AB и CD лежат на одной прямой и имеют общую середину O. Найдите длину отрезка CD, если OA = 4 см, AC = 12 см. Сколько решений имеет задача? 165. Углы (ab) и (cd) имеют общую вершину и общую биссектрису l. Найдите угол (cb), если ∠(ab) = ° 50 , ∠(dl) = ° 10 . Сколько решений имеет задача?
166. На прямой отмечены точки A и C так, что AC = 3. Точка B лежит на отрезке AC, причем AB: : BC = 2 1. Найдите на данной прямой все точки D такие, что AD + = BD CD. 167. Точки A и B движутся по прямой. Определите, на какую величину переместится середина отрезка AB, если точка A переместится на 3 единицы, а точка B — на 7 единиц. Рассмотрите случаи движения точек в одном направлении и в противоположных направлениях. 168. На линейке отмечены три деления: 0 см, 2 см и 5 см. Как при помощи такой линейки построить отрезок длиной 6 см? 169. Как с помощью угольника с углом 35° отложить угол 40°? 170. Дан шаблон угла в 17°. Как с помощью этого шаблона построить: а) угол 7°; б) угол 10°? 171. Как с помощью шаблона угла в 27° построить две перпендикулярные прямые? 172. Сколько углов, меньших 180°, изображено на рис. 53? 173. Лучи b и c делят угол (ad) на три равных угла. Докажите, что биссектриса угла (bc) является биссектрисой угла (ad). 174. Точка M лежит вне внутренней области угла AOB. Луч OC — биссектриса этого угла. Докажите, что угол MOC равен полусумме углов AOM и BOM. 175. Точка M лежит во внутренней области угла AOB. Луч OC — биссектриса этого угла. Докажите, что угол MOC равен модулю полуразности углов AOM и BOM.
176. На прямой отмечены три точки. Могут ли эти точки быть вершинами треугольника? 177. В треугольнике KMP назовите: а) углы, прилежащие к стороне MP; б) угол, противолежащий стороне KP; в) сторону, противолежащую углу K; г) стороны, прилежащие к углу P. 178. Два треугольника равны. Равны ли их периметры? 179. Периметры двух треугольников равны. Обязательно ли равны сами треугольники?
180. Известно, что ¬ ¬ ABC A = 1 1 B C1. Означает ли это, что: а) ¬ ¬ CAB C = 1 1 A B1; б) ¬ ¬ ABC A = 1 1 C B1? 181. Известно, что ¬ ¬ ABC D = EF. Назовите: а) угол, который при наложении треугольников совместится с углом E; б) сторону, которая при наложении треугольников совместится со стороной AC; в) угол, равный углу C; г) сторону, равную стороне DE.
182. Начертите треугольник ABC. а) Измерьте стороны треугольника и вычислите его периметр. б) Вырежьте построенный треугольник и с помощью полученного шаблона начертите треугольник, равный данному (или скопируйте построенный треугольник на экране компьютера). Почему треугольники будут равны? 183. Начертите треугольник ABC и вырежьте его. а) С помощью полученного шаблона начертите треугольник MNK, равный треугольнику ABC. б) Приложите шаблон к треугольнику MNK так, чтобы отрезки MN и AB совместились, а точки C и K лежали по разные стороны от прямой AB. Обведите шаблон. в) Перегните рисунок по прямой AB. Обязательно ли точки C и K совпадут?
184. В треугольнике ABC AC = 6 см, сторона AB меньше BC на 2 см, а стороны, прилежащие к углу C, равны. Найдите периметр треугольника. 185. Периметр треугольника ABC равен 24 м, причем AB = 10 м, а сторона BC втрое меньше AC. Назовите угол треугольника, противолежащий его наибольшей стороне.
186. Известно, что ¬ ¬ ABC K = MN. Найдите: а) угол N, если ∠ = C 125°; б) сторону AB, если KM = 11 см; в) периметр треугольника KMN, если AB = 11 см, MN = 8 см, KN = 7 см. 187. Известно, что ¬ ¬ BAC E = FK. а) Назовите наибольший угол треугольника BAC, если наибольший угол треугольника EFK — противолежащий стороне EF. б) Назовите наименьшую сторону треугольника EFK, если AB > > BC AC. в) Назовите треугольник, равный тре угольнику ABC. 188. На рис. 57 треугольник ABC равен треугольнику с вершинами в точках P, Q, R. Закончите равенство ¬ ¬ ABC = … . 189. Треугольник ABC равен треугольнику с вершинами в точках X, Y, Z. Запишите равенство этих треугольников, если AB = YZ, BC ZX = , AC = YX.
190. Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точка D не лежит на прямой AC. Сколько треугольников с вершинами в данных точках можно построить? Сделайте рисунок. 191. В треугольнике ABC AB: : BC AC = 3 5: :7. Найдите: а) периметр треугольника, если BC = 15 мм. б) наименьшую сторону треугольника, если его периметр равен 60 мм. в) наибольшую сторону треугольника, если разность двух других его сторон равна 4 мм. 192. Периметр треугольника ABC равен 18 см, причем AB+ = BC 12 AB+ = BC 12 см, BC+ = AC 13 см. Назовите углы, прилежащие к наибольшей стороне треугольника. 193. Известно, что ¬ ¬ ABC D = = EF ¬KMN , причем ∠ = A 45°, ∠ = F 80°, ∠ = M 55°. Найдите неизвестные углы этих треугольников.
194. Известно, что ¬ ¬ ABC D = = EF ¬KMN , причем AB = 9 см, MN = 8 см, P¬DEF = 24 см. Найдите неизвестные стороны этих треугольников. 195. Могут ли быть равными треугольники, у которых наибольшие углы не равны? Ответ обоснуйте. 196. Если периметры двух треугольников не равны, то и сами треугольники не равны. Докажите.
197. Известно, что ¬ ¬ ABC K = MN и ∠ = A N∠ . Докажите, что треугольник ABC имеет равные углы, назовите их. 198. Известно, что ¬ ¬ ABC K = MN . Назовите наименьший угол треугольника ABC, если в треугольнике KMN ∠ > K N∠ , а угол, противолежащий стороне KM, не наименьший. 199. Треугольник ABC равен треугольнику с вершинами в точках X, Y, Z. Запишите равенство этих треугольников, если ∠ > A X∠ , ∠ < A Z ∠ , ∠ > B Z ∠ . 200. Треугольник ABC равен треугольнику с вершинами в точках X, Y, Z. Запишите равенство этих треугольников, если AB = YZ, ∠ < A Y∠ , а все стороны треугольника ABC имеют разные длины.
201. На сторонах равных углов B и B1 отложены равные отрезки BA = B A1 1 и BC = B C1 1. При наложении углы B и B1 и отрезки BA и B A1 1 совместились. Совместятся ли при таком наложении отрезки BC и B C1 1? 202. Общая сторона двух смежных углов делит угол между биссектрисами этих углов пополам. Докажите, что данные углы прямые.
207. Начертите две прямые, пересекающиеся в точке O. а) Отложите на одной прямой по разные стороны от точки O равные отрезки OA и OB, а на другой — равные отрезки OC и OD. б) Соедините последовательно точки A, C, B и D. Выделите цветом пары равных треугольников. Как доказать их равенство? 208. Начертите треугольник ABC. а) От луча AC отложите угол CAM, равный углу CAB, так, чтобы точки B и M лежали по разные стороны от прямой AC. б) На луче AM отложите отрезок AD, равный отрезку AB. Соедините точки D и C. в) Докажите равенство треугольников ABC и ADC по первому признаку равенства треугольников. Как нужно перегнуть рисунок, чтобы доказать равенство этих треугольников по определению?
209. По данным рис. 62 докажите равенство треугольников ABC и A B1 1C1. 210. На рис. 63 ∠ = BAC D∠ AC, AB AD = . Докажите равенство треугольников ABC и ADC. 211. На рис. 64 ∠ = ABD C ∠ DB, AB = CD. Докажите равенство треугольников ABD и CDB.
212. Через точку D — середину отрезка AB — проведена прямая CD, перпендикулярная AB. а) Докажите равенство треугольников ACD и BCD. б) Найдите длину отрезка BC, если AC = 8 см. 213. В треугольнике ABC AB = CB, ∠ = A C ∠ . Точка M — середина стороны AC. а) Докажите равенство треугольников ABM и CBM. б) Найдите угол ABM, если ∠ = CBM 25°. 214. С помощью рисунка-контрпримера опровергните утверждение: а) если точка C лежит на луче AB, то она лежит между точками A и B; б) если два равных угла имеют общую вершину, то эти углы вертикальные. 215. С помощью рисунка-контрпримера опровергните утверждение: а) если луч OC делит тупой угол AOB на два угла, то оба эти угла острые; б) если два луча не пересекаются, то они параллельны.
216. На рис. 65 AD AE = , BD = CE. Докажите, что ∠ = B C ∠ . 217. На рис. 66 точка C — середина отрезка AE, AB = DE, ∠ = 1 2 ∠ . Докажите, что BC = DC.
218. В треугольнике ABC ∠ = A C ∠ . На сторонах AB и BC отложены равные отрезки AA1 и CC1 соответственно. Найдите длину отрезка AC1, если CA1 = 14 см. 219. В треугольнике ABC AB = CB. Биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке D. Найдите длину отрезка AD, если AC = 8 см.
220. Известно, что ¬ ¬ ABC A = 1 1 B C1 . На сторонах AB и A B1 1 отложены равные отрезки AD и A D1 1 соответственно. Докажите, что ¬ ¬ ACD A = 1 1 C D1. 221. Известно, что ¬ ¬ ABC A = 1 1 B C1. Точки D и E — середины сторон AB и BC, а точки D1 и E1 — середины сторон A B1 1 и B C1 1 соответственно. Докажите, что DE = D E1 1. 222. С помощью рисунка-контрпримера опровергните утверждение: а) если прямая параллельна стороне треугольника, то она пересекает две другие его стороны; б) если два угла имеют общую сторону и в сумме составляют 180°, то эти углы смежные. 223. С помощью рисунка-контрпримера опровергните утверждение: а) если прямая пересекает один из двух параллельных лучей, то она пересекает и второй луч; б) если биссектрисы двух углов являются дополнительными лучами, то эти углы вертикальные.
224. В треугольнике ABC AB = CB. Биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке D. Докажите, что прямые AC и BD перпендикулярны. 225. Через середину отрезка AB проведена прямая l, перпендикулярная прямой AB. Докажите, что каждая точка прямой l равноудалена (лежит на одинаковом расстоянии) от точек A и B.
226. Представьте, что на рисунке изображена пара смежных углов и их биссектрисы. Какое наибольшее количество прямых углов может быть на таком рисунке? 227. На стороне BC треугольника ABC отмечена точка M, причем ¬ ¬ BAM C = AM. Найдите градусные меры углов AMB и AMC
228. Могут ли два угла треугольника быть прямыми? Почему? 229. На прямой отмечена точка. Сколько через эту точку можно провести: а) прямых, перпендикулярных данной прямой; б) перпендикуляров к данной прямой? Изменятся ли ответы, если точка не будет лежать на данной прямой? 230. Среди геометрических фигур с заданными свойствами укажите те, которые существуют и являются единственными: а) луч, дополнительный к данному лучу; б) отрезок, равный данному отрезку; в) угол, смежный с данным неразвернутым углом; г) угол, вертикальный данному неразвернутому углу.
231. Среди геометрических фигур с заданными свойствами укажите те, которые существуют, но не являются единственными: а) прямая, параллельная данной прямой; б) прямая, проходящая через точку вне данной прямой и параллельная данной прямой; в) точка, являющаяся концом данного отрезка; г) точка, делящая данный отрезок пополам.
232. Проведите прямую a и отметьте точку A, не лежащую на этой прямой. а) С помощью угольника проведите через точку A перпендикуляр AB к данной прямой. б) Измерьте расстояние от точки A до прямой a. в) Отметьте на данной прямой точку C, не совпадающую с точкой B. Измерьте отрезок AC и сравните его длину с длиной отрезка AB. Выскажите предположение о сравнении длины отрезка AB и длин других отрезков, соединяющих точку A с точками прямой a. 233. Проведите прямую b и отметьте на ней точку B. а) С помощью угольника проведите через точку B прямую, перпендикулярную прямой b, и отметьте на ней точку A. б) На прямой b по разные стороны от точки B отложите равные отрезки BC и BD. Соедините точки C и D с точкой A. Равны ли треугольники ABC и ABD? Почему?
234. В треугольнике ABC ∠ = B 90°. Назовите отрезок, который является расстоянием: а) от точки C до прямой AB; б) от точки A до прямой BC. 235. Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Отрезок AD — расстояние от точки A до прямой BC. Какой отрезок является расстоянием от точки C до прямой AD?
236. Через точку на плоскости проведены три прямые. Сколько прямых углов может при этом образоваться? Рассмотрите все возможные случаи. 237. Отрезки AC и BC — перпендикуляры, проведенные из точек A и B к прямой c. Могут ли точки A, B и C не лежать на одной прямой? Ответ обоснуйте.
238. Точка A лежит на прямой a, а точка B лежит на прямой b. Отрезок AB — расстояние от точки A до прямой b и расстояние от точки B до прямой a. Определите взаимное расположение прямых a и b. Ответ обоснуйте. 239. На плоскости даны точки A, B, C, D, E. Определите, какие четыре из этих точек лежат на одной прямой, если BD — расстояние от точки B до прямой AC, а ED — расстояние от точки E до прямой BD. 240. Известно, что ¬ ¬ ABC K = MN и отрезок AC — расстояние от точки A до прямой BC. Какой отрезок является расстоянием: а) от точки K до прямой MN; б) от точки M до прямой KN? 241. Известно, что ¬ ¬ ABC A = BC1 и точка B лежит на отрез ке CC1. Какой отрезок является расстоянием: а) от точки A до прямой CC1 ; б) от точки C до прямой AB?
242. Точка D лежит внутри неразвернутого угла B. Отрезки DA и DC — расстояния от точки D до сторон угла, причем DA DC = и BA BC = . Докажите, что луч BD — биссектриса угла B. 243. Точка C — середина отрезка AB, отрезок DC — расстояние от точки D до прямой AB. Докажите, что луч DC — биссектриса угла ADB. 244. Расстояния от сел Антоновка и Вольное до прямой автомагистрали равны 5 км и 7 км соответственно. Может ли расстояние между Антоновкой и Вольным быть равным 12 км; 2 км? Ответ обоснуйте. 245. Отрезки AA1 и BB1 — расстояния от точек A и B до прямой c соответственно. При каком условии прямые AB и c будут перпендикулярными? Ответ обоснуйте.
246. В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC. Данный треугольник перегнули по прямой AM, причем углы AMB и AMC и отрезки MB и MC совместились. Совместятся ли при таких условиях углы AMB и ACM; отрезки AB и AC? 247. Известно, что ¬ ¬ ABC A = 1 1 B C1. На сторонах BC и B C1 1 отмечены точки M и M1 соответственно, причем ¬ ¬ ABM A = 1 1 B M1. Докажите равенство треугольников ACM и A C1 1M1.
248. В треугольниках ABC и A B1 1C1 ∠ = B B ∠ 1, ∠ = C C ∠ 1. Какое равенство необходимо добавить к условию, чтобы равенство этих треугольников можно было доказать по второму признаку? 249. В треугольниках ABC и A B1 1C1 AB = A B1 1 ∠ = A A ∠ 1. Какое равенство необходимо добавить к условию, чтобы равенство этих треугольников можно было доказать по второму признаку? 250. Можно ли утверждать, что ¬ ¬ ABC D = EF, если AB = DE, ∠ = A D∠ , ∠ = B F ∠ ? 251. Если сторона и сумма прилежащих к ней углов одного треугольника соответственно равны стороне и сумме прилежащих к ней углов другого треугольника, то такие треугольники равны. Верно ли это утверждение?
252. Начертите острый угол A и проведите его биссектрису AD. а) От луча DA по разные стороны от прямой DA отложите равные углы и отметьте точки B и C — точки пересечения сторон построенных углов со сторонами угла A. б) Равны ли треугольники ABD и ACD? Как это доказать? 253. Начертите тупой угол A и проведите его биссектрису AD. а) Проведите через точку D прямую, перпендикулярную прямой AD, и отметьте точки B и C — точки пересечения построенной прямой со сторонами угла A. б) Выделите цветом равные треугольники и докажите их равенство.
259. На рис. 77 ∠ = A F ∠ , ∠ = ADE F ∠ CB, AD = FC. Докажите равенство треугольников ABC и FED. 260. На рис. 78 ∠ = BAD C ∠ DA, ∠ = CAD B ∠ DA. Докажите равенство треугольников ABD и DCA.
261. В треугольнике ABC на равных сторонах AC и BC отмечены точки D и E соответственно, причем ∠ = CAE C ∠ BD. Докажите, что AE = BD. 262. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O, которая является серединой отрезка BD, причем AB ⊥ BD, CD ⊥ BD. а) Докажите равенство треугольников AOB и COD. б) Найдите длину отрезка AC, если AO = 4 см. 263. На биссектрисе неразвернутого угла A отмечена точка B. Докажите, что прямая, перпендикулярная биссектрисе AB и проходящая через точку B, отсекает на сторонах угла равные отрезки.
264. С помощью контрпримера опровергните утверждение: «Если сторона и два угла одного треугольника равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны». 265. В п. 8.1 приведен способ нахождения расстояния между точками A и C на местности (см. рис. 60), основанный на применении первого признака равенства треугольников. Предложите другой способ нахождения этого расстояния на основании второго признака равенства треугольников.
266. Треугольники ABC и A B1 1C1 равны. На сторонах AC и A C1 1 отмечены точки D и D1 соответственно, причем ∠ = ABD A ∠ 1 1 B D1. Докажите, что BD = B D1 1. 267. На рис. 79 ¬ ¬ ABC D = CB. Докажите, что ¬ ¬ AOB D = OC. 268. На рис. 80 ¬ ¬ AOD C = OE. Докажите, что ¬ ¬ ABE C = BD.
269. Известно, что ¬ ¬ ABC M = NK, AB = BC, NK = MK. Докажите, что все стороны данных треугольников равны. 270. Точки C и D лежат по разные стороны от прямой AB, причем ∠ = CAB D∠ AB, ∠ = CBA D∠ BA. Среди треугольников, вершинами которых являются данные точки, назовите те, которые обязательно имеют две равные стороны. Ответ обоснуйте.
271. Является ли равнобедренным любой равносторонний треугольник? Является ли равносторонним любой равнобедренный треугольник? 272. В треугольнике DEF DE = EF. Назовите равные углы треугольника. 273. В треугольнике KMN ∠ = M N∠ . Назовите равные стороны треугольника. 274. В треугольнике ABC стороны, прилежащие к углу B, равны, и углы, прилежащие к стороне AB, равны. Определите вид треугольника.
275. Начертите угол B и отложите на его сторонах равные отрезки BA и BC. а) Соедините точки A и C. Является ли треугольник ABC равнобедренным? Почему? б) Измерьте углы A и C треугольника ABC. Сделайте вывод. 276. Начертите угол A, равный 60°, и проведите его биссектрису AD. а) Проведите через точку D прямую, перпендикулярную прямой AD, и отметьте точки B и C — точки пересечения построенной прямой со сторонами угла A. б) Измерьте стороны и углы треугольника ABC. Сделайте вывод.
277. Периметр равнобедренного треугольника равен 2,6 м. Найдите стороны треугольника, если его основание больше боковой стороны на 0,2 м.
278. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Найдите: а) основание треугольника, если его боковая сторона равна 7,5 см; б) боковую сторону треугольника, если его основание равно 4 см; в) стороны треугольника, если его боковая сторона относится к основанию как 3 : 4. 279. Если боковая сторона и угол, противолежащий основанию одного равнобедренного треугольника, соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. Докажите. 280. Если основание и угол, прилежащий к основанию одного равнобедренного треугольника, соответственно равны основанию и углу, прилежащему к основанию другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. Докажите. 281. По данным рис. 88 докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и назовите его боковые стороны. 282. По данным рис. 89 докажите, что треугольник ABC рав нобедренный, и назовите его основание. 283. Треугольники ABD и CBD равны (рис. 90). Докажите, что треугольники ABC и ADC равнобедренные.
284. В равнобедренном треугольнике ABC точки A1 и C1— середины боковых сторон AB и BC соответственно. Докажите, что ∠ = BA1 1 C B ∠ C A1 1
285. Периметр равнобедренного треугольника равен 21 м. Найдите стороны треугольника, если одна из них больше другой на 3 м. Сколько решений имеет задача?
286. Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 18 см, причем основание AC меньше боковой стороны на 3 см. Найдите периметр равностороннего треугольника ADC. 287. В равнобедренном треугольнике углы, прилежащие к боковой стороне, равны. Докажите, что данный треугольник равносторонний. 288. Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются вершинами другого равностороннего треугольника. 289. На рис. 91 AB = BC, CD = DE. Докажите, что ∠ = BAC D∠ EC. 290. Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC (см. рис. 90). Докажите равенство треугольников ABD и CBD. 291. На продолжениях боковых сторон AB и CB равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки BA1 и BC1 (рис. 92). а) Докажите равенство треугольников AC1B и CA1B. б) Докажите равенство треугольников AC1C и CA1A. 292. На рис. 93 треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, точка D — середина отрезка AC. Докажите, что треугольник AEC равнобедренный. 293. На рис. 94 треугольник ADC равнобедренный с основанием AC, ∠ = ADE C ∠ DE. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
294. Сформулируйте утверждение, обратное: а) теореме о смежных углах; б) теореме о двух прямых, параллельных третьей; в) первому признаку равенства треугольников. Какие из этих утверждений верны? 295. Проанализируйте доказательство признака равнобедренного треугольника (рис. 85). Почему прямая d не может быть парал лельна: а) каждой из прямых AB и CB; б) одной из прямых AB или CB? 296. Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC (точки B и D лежат по разные стороны от прямой AC). Отрезки BD и AC пересекаются в точке K. Докажите, что точка K — середина отрезка AC. 297. Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC (точки B и D лежат по одну сторону от прямой AC). Докажите, что прямые BD и AC перпендикулярны. 298. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольни ка ABC отложены равные отрезки AA1 и CC1 соответственно. Отрезки AC1 и CA1 пересекаются в точке O. Докажите, что треугольник AOC равнобедренный. 299. Треугольники ABC и ABD равны. Докажите, что их общая сторона перпендикулярна прямой CD.
300. Дан угол AOB. Из точки A проведен перпендикуляр AD к прямой OB. Лежит ли точка O между точками B и D, если данный угол острый; тупой? 301. В треугольнике ABC AB = BC. Проведите из вершины B отрезок, который делит данный треугольник на два равных треугольника. Какие свойства имеет этот отрезок? Приведите необходимые доказательства, выскажите предположения.
308. Начертите неравнобедренный треугольник ABC. а) Отметьте точку M — середину стороны BC. Проведите отрезок AM. Как он называется? б) Проведите биссектрису угла B и отметьте точку L ее пересечения со стороной AC. Как называется отрезок BL? в) Проведите из точки C перпендикуляр CH к прямой AB. Как называется построенный отрезок в треугольнике ABC? 309. Начертите равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и тупым углом B. а) Проведите высоту AD. Лежит ли точка D на отрезке BC? б) Проведите медиану BM. Равны ли углы ABM и CBM? Почему?
310. В равнобедренном треугольнике ABC отрезок BD — медиана, проведенная к основанию. Найдите периметр треугольника ABC, если P¬ ABD = 12 см, BD = 4 см.