Ответы в самом низу встроенного документа
231. Прямая CD перпендикулярна плоскости прямоугольного тре угольника АВС ( ZABC = 90°). Проведите перпендикуляр из точ ки D к прямой АВ (рис. 127). 232. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Прямая FO перпендикулярна плоскости квадрата (рис. 128). Проведите пер пендикуляры из точки F к сторонам квадрата. 233. Точка О принадлежит плоскости прямоугольного треугольни ка ABC (Z B = 90°). Прямая DO перпендикулярна плоскости гре- D R.-------- F D с ’ г ч ^ / с О 1 О А В Рис 127 Рис 128 Рис. 129 вариант 3 89 угольника (рис. 129). Проведите перпенди куляры из точки D к сторонам АВ и ВС. 233. Точка О принадлежит плоскости прямо угольного треугольника ABC (ZJS = 90°). Прямая DO перпендикулярна плоскости треугольника (рис. 129). Проведите перпен дикуляры из точки D к сторонам АВ и ВС. 234. Через середину Е стороны DC квадрата ABCD к плоскости квадрата проведен перпендикуляр FE (рис. 130). Проведите пер пендикуляры из точки F к сторонам и диагоналям квадрата. 235. Из точки А к плоскости а проведены перпендикуляр А В дли ной 12 см и наклонная АС. Найдите расстояние от точки А до пря мой /, которая принадлежит плоскости а и проходит через точ ку С перпендикулярно прямой ВС, если ВС = 16 см. 236. Прямая FC перпендикулярна плоскости ромба ABCD, BD - = FC = 20 см. Z BAD = 60°. Найдите расстояние от точки F до прямых, содержащих стороны ромба. 237. Через вершину прямого угла В треугольника АВС к его плоскости проведен перпендикуляр BN. Расстояние от точки N до прямой АС равно 13 см. Найдите расстояние от точки N до плоскости треугольника, если АС = 25 см, АВ = 15 см. 238. Через вершину М треугольника KMN к его плоскости проведен перпендикуляр РМ. Найдите расстояние от точки Р до прямой KN, если PM = 1 см, МК = 2у/2 см, MN = 4 см, Z KMN = 150°. 239. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведен перпендикуляр ОМ к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны параллелограмма, если АВ = 5 см, AD = 12 см, ОМ = 4 см, площадь параллелограмма равна 30 см2. 240. Сторона равностороннего треугольника АВС равна 6 см. Через центр О треугольника к его плоскости проведен перпендику ляр ОМ длиной 3 см. Найдите угол между перпендикуляром, проведенным из точки М к стороне АВ, и проекцией этого пер пендикуляра на плоскость АВС. 241. В трапеции ABCD (BC\\AD) известно, что С£> = 16см, ZCDA = 30°. Точка М удалена от каждой из сторон трапеции на 5 см. Найдите расстояние от точки Мдо плоскости трапеции. Рис. ВО 90 Тренировочные упражнения 242. Точка S находится на расстоянии 12 см от каждой из сторон ромба, диагонали которого равны 16 см и 12см. Найдите расстояние от точки S до плоскости ромба. 243. Точка D удалена на 5 см от каждой из сторон треугольника АВС. Найдите расстояние от точки D до плоскости треугольника, если АВ = 13см, ВС = 14см, ЛС = 15см. 244. Сторона ромба равна а, а его площадь — S. Точка М не при надлежит плоскости ромба и удалена от каждой из его сторон на расстояние Ь. Найдите расстояние от точки М до плоскости ромба. 245. Проекция точки F на плоскость угла АВС принадлежит биссек трисе этого угла. Докажите, что точка F равноудалена от сторон угла. 246. Точка М принадлежит диагонали АС прямоугольника ABCD. Через точку М к плоскости прямоугольника проведен перпенди куляр MF длиной 4 см. Найдите расстояние от точки F до стороны АВ, если АВ = 12см, 5С = 16см, AM \ МС = 3:1. 247. Через вершину D прямоугольника ABCD проведен перпендику ляр DF к его плоскости. Найдите длину этого перпендикуляра, если DC = 12см, FA = -J\06 см, Z>Z? = 13cm. 248. Из точки А к плоскости у проведены перпендикуляр АО и наклон ная АК. Через точку К в плоскости у проведена прямая, образующая с прямой КО угол а. Найдите расстояние от этой прямой до точки А, если Z АКО - р , АК - а. 249. Через вершину В прямого угла АВС проведена прямая, образую щая с его сторонами углы а и р (эта прямая не лежит в плос кости АВС). Найдите угол между данной прямой и ее проекцией на плоскость АВС. 250. Через середины сторон АВ и ВС параллелограмма ABCD проведена плоскость, параллельная диагонали АС и удаленная от нее на 9 см. Найдите расстояние от точки D до данной плоскости. Перпендикулярные плоскости 251. Верно ли утверждение, что если плоскости а и р перпен дикулярны и прямая т параллельна плоскости а, то прямая т пер пендикулярна плоскости р? 252. Верно ли утверждение, что если прямая перпендикулярна одной из двух перпендикулярных плоскостей, то она параллельна другой из этих плоскостей? Вариант 3 91 253. Прямые а. Ь и с имеют общую точку М, причем а ± b, а ± с, b А. с. Докажите, что плоскость, проходящая через прямые а и Ь, перпен дикулярна плоскости, проходящей через прямые я и с, и плос кости. проходящей через прямые h и с. 254. Через точку D проведена прямая DA, перпендикулярная плос кости прямоугольного треугольника АВС ( Z С = 90°). Докажите, что плоскости DAC и DBC перпендикулярны. 255. Два равнобедренных треугольника АВС и ABtC имеют общее основание ЛС = 8 см. Плоскости этих треугольников перпен дикулярны. Найдите расстояние между точками В и В ,, если /15-10 см, АВ\ =17см. 256. Точка М не принадлежит плоскости прямоугольного треуголь ника ABC (Z.C = 90°) и равноудалена от его вершин. Докажите, что плоскости АМВ и АВС перпендикулярны. 257. В равнобокой трапеции ABCD (ВС || AD) известно, что ZCAD = 45°, О — точка пересечения диагоналей. Прямая МО перпендикулярна плоскости трапеции. Докажите, что плоскости АМС и BMD перпендикулярны. 258. Точка S равноудалена от вершин равностороннего треугольни ка АВС, точка О — центр этого треугольника. Докажите, что плоскость SOC перпендикулярна плоскости ASB. 259. Плоскости (3 и ф перпендикулярны и пересекаются по прямой т. Плоскость а параллельна прямой т и пересекает плоскости Р и ср по прямым п и р соответственно. Найдите расстояние между прямыми п и р, если расстояние от прямой т до плоскости а равно 9 см, а расстояние между прямыми т и п — 15 см. 260. Длина отрезка равна 12 см. Его концы принадлежат двум перпен дикулярным плоскостям. Расстояния от концов отрезка до линии пересечения этих плоскостей равны 6 см и 6^2 см. Найдите углы, которые отрезок образует со своими проекциями на данные плоскости. 261. Длина отрезка, концы которого принадлежат двум перпендику лярным плоскостям, равна 8 см. Углы, которые образует данный отрезок со своими проекциями на данные плоскости, равны 45° и 60°. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из концов отрезка к линии пересечения плоскостей. 92 Тренировочные упражнения 262. Отрезок АВ лежит в одной из двух перпендикулярных плоскостей и не пересекает вторую. На этом отрезке отметили точку М такую, что A M : МВ = 3:1. Во второй плоскости проведена прямая р, параллельная линии а пересечения плоскостей. Расстояние между точкой А и прямой р равно 34 см, между точкой В и прямой р — 20 см, между прямыми а и р — 16 см. Найдите расстояние между точкой Ми прямойр. 263. Прямоугольный треугольник ABC (ZB- 90°) перегнули по его медиане ВМ так, что плоскости ВАМ и ВМС оказались перпенди кулярными. Найдите расстояние между точками А и С, если АВ = 12 см, cos ZBAM = ^ . 264. Докажите, что если плоскости а и р перпендикулярны плоскос ти у и пересекаются по прямой а, то прямая а перпендикулярна плоскости у. Расстояние между скрещивающимися прямыми 265. На рисунке 131 изображен куб с ребром а. Найдите расстояние между прямыми FE и КМ. АХ_____V м а) Е /г,! \7 ! \ у-* - Г б) Рис. 131 266. Через вершину С прямоугольника ABCD проведена прямая d, перпендикулярная плоскости прямоугольника. Найдите расстоя ние между прямыми d и АВ, если АВ - 16 см, BD = 30 см. 267. Через вершину А прямоугольного треугольника ABC ( Z В = 90°) проведена прямая т, перпендикулярная плоскости АВС. Найдите расстояние между прямой т и прямой, содержащей медиану ВМ треугольника, если АС - 30 см, cos ZACB = 4 . 268. К окружности с центром О и радиусом 8 см провели касатель ную / в точке М. Через точку К окружности перпендикулярно его плоскости провели прямую т. Найдите расстояние между прямы ми т и /, если Z КОМ = 60°. Вариант 3 93 269. Через середину К стороны АВ треугольника АВС провели пря мую я, перпендикулярную плоскости треугольника. Найдите расстояние от этой прямой до прямой ВС, если АВ = 13 ем, ВС = 14см. ЛС = 15см. 270. Через вершину А равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) проведена плоскость, перпендикулярная плоскости АВС и парал лельная прямой ВС. В этой плоскости через точку А проведена прямая. Найдите расстояние от этой прямой до прямой ВС, если А В - 25 см, ЛС = 48см. 271. В равнобедренном треугольнике АВС известно, что АВ = ВС = 37 см, ЛС = 70см. Через сторону АС треугольника проведена плоскость а, расстояние от которой до точки В равно 9 см. Найдите расстояние между прямой АС и прямой, которая проходит через точку В перпендикулярно плоскости а. 272. Прямая а перпендикулярна плоскости а и пересекает ее в точке А, прямая Ь — скрещивающаяся с ней прямая, прямая с —- про екция прямой Ъ на плоскость а. Докажите, что расстояние между прямыми a a b равно расстоянию от точки А до прямой с. 273. Через точку D проведена прямая DB, перпендикулярная плоскости равносторон него треугольника АВС (рис. 132). Найдите расстояние между прямой AD и прямой, проходящей через точку С перпендикуляр но плоскости АВС, если АВ = 6 см. 274. Точки М и N — середины сторон АВ и CD квадрата ABCD. Квадрат перегнули по пря мой MN так, что плоскости прямоугольни ков AMND и BCNM оказались перпендику лярными (рис. 133). Найдите расстояние между прямыми АС и MN, если AD = 4 см. 275. Длина ребра куба ABCDA1BiClDl равна 6 см, точка М — сере дина ребра CD. Найдите расстояние между прямыми AM и СС,. Угол между скрещивающимися прямыми 276. Через основание М высоты ВМ треугольника АВС проведен пер пендикуляр ОМ к его плоскости. Найдите угол между прямы ми ВМ и ОС. М, А у . / А «------------Ъ Рис. 133 94 Тренировочные упражнения 277. Через вершину С ромба ABCD проведен пер пендикуляр ЕС к плоскости ромба (рис. 134). На отрезке АЕ выбрали произвольную точ ку F. Найдите угол между прямыми BD и FC. 278. Точка О — центр правильного треугольни ка АВС, точка D — середина стороны АВ, от резок MN — средняя линия этою треуголь ника, отрезок КО — перпендикуляр к плоскости АВС. Докажите, что прямые KD и MN перпендикулярны. 279. На рисунке 135 изображен куб ABCDAlBlClD]. Найдите угол между прямыми: 1) CXDX и л Ц ; 2) CD и АХВ\Ъ) АХВ и ADX. 280. В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС = = 13 см, АС = 10см, точка D — середина АС, точка Е — середина АВ, точка F — середина ВС. Прямая PD перпендикулярна плоскости ABC, BP--2-J61 см. Най дите угол между прямыми EF и PC. А,S' А / у - 1 __1___ 7 С, С Рис. 135 Угол между прямой и плоскостью 281. Наклонная образует с плоскостью угол 45°. Найдите расстояние от конца наклонной до плоскости, если длина наклонной равна л/Г8 см. 282. Найдите угол между наклонной и плоскостью, если длина на клонной равна 24 см, а расстояние от конца наклонной до плос кости — 18 см. 283. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX известно, что Л5 = 15см, ВС = 8 см, АХС = 34 см. Найдите угол между пря мой А\С и плоскостью АВС. 284. Плоскость проходит через диагональ BD ромба ABCD. Докажите, что стороны АВ и CD образуют с этой плоскостью равные углы. 285. Точка М лежит вне плоскости квадрата ABCD, а наклонные МЛ, МВ, МС и MD образуют равные углы с плоскостью АВС. Докажите, что проекцией точки М на плоскость этого квадрата является его центр. 286. Из точки В к плоскости а провели наклонные ВА и ВС, обра зующие с этой плоскостью углы 60° и 30° соответственно, ВА = 4л/б см. Найдите расстояние между точками А и С, если угол между проекциями наклонных равен 1 2 0 °. вариант 3 95 287. В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС = 8 см, площадь этого треугольника равна 48 см2. Через вершину С к плоскости тре угольника проведен перпендикуляр FC. Из точки F опущен Пер пендикуляр FK на прямую АВ. Найдите угол между прямой FK и плоскостью АВС, если F K ж 18 см. 288. Точки М и N лежат в двух перпендикулярных плоскостях а и р соответственно. Из точек М и N опущены перпендикуляры ME и NK на линию пересечения плоскостей, NE = 10 см, Е£ = 8 см, МК = 15 см. Найдите углы, которые образует отрезок MN с плос костями аир. 289. Концы отрезка АВ лежат в двух перпендикулярных плоскостях. Отрезок АВ образует с этими плоскостями углы 30° и 45°. Расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из точек А и В к линии пересечения плоскостей, равно 8 см. Найдите длину отрезка АВ. 290. Через вершину В квадрата ABCD к плоскости квадрата проведен перпендикуляр КВ. Найдите расстояние от точки К до прямой АС, если AD = a, прямая КО образует с плоскостью квадрата угол <р (О — точка пересечения диагоналей квадрата). 291. Треугольники АВС и ADC лежат в разных плоскостях. Найдите углы, которые образуют прямые AD и CD с плоскостью АВС, если AD = CD , АВ = СВ, Z ADC = 90°, Z АВС = 120°, прямая BD пер пендикулярна плоскости АВС. 292. Луч ОМ проведен через вершину О прямого угла АОВ, Z МОА - 45°, Z M O B - 60°. Найдите угол между прямой ОМ и плоскостью АОВ. Угол между плоскостями 293. Плоскости а и р пересекаются по прямой с. В плоскостях а и р проведены прямые а и Ь соответственно, параллельные прямой с. Расстояние между прямыми а и b равно 21 см, между прямыми а и с — 9 см, угол между плоскостями а и р — 60°. Найдите расстояние между прямыми Ъ и с. 294. Плоскости а и р пересекаются по прямой т. Плоскость у пересе кает плоскости а и Р по прямым а и b соответственно, которые параллельны прямой т. Найдите расстояние между прямой т и плоскостью у, если угол между плоскостями а и Р равен 60°, рас стояние между прямыми а н b — 35 см, а расстояние между пря мыми а и т на 25 см больше расстояния между прямыми b и т. 96 Т ренировочные упражнения 295. Площади квадрата ABCD и прямоугольного треугольника FBC (/. FBC = 90°) равны 50 см2 и Юл/2 см2 соответственно. Расстояние от точки F до прямой AD равно >/26 см. Найдите угол между плоскостями квадрата и треугольника. 296. Гипотенуза АВ равнобедренного прямоугольного треугольни- кяАВС принадлежит плоскости Р, площадь этого треугольника равна 49 см2, а расстояние от точки С до плоскости р — 5 см. Найдите угол между плоскостями АВС и р. 297. Через сторону ВС треугольника АВС проведена плоскость, обра зующая с плоскостью треугольника угол 60°. Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если АВ = ВС - 13 см, АС = 1 0 см. 298. Угол между плоскостями треугольников АВС и ABD равен 60°, АС =■ ВС = 20 см, А В = 24 с м / AD = BD , Z. ADB = 90°. Найдите длину отрезка CD. 299. Найдите угол между плоскостями треугольников АВС и A MCA если АВ = ВС - А С - а , AM = МС, ЕАМ С = 90°, ВМ = . 300. Найдите угол между плоскостями треугольника АВС и прямо угольника ABDE, если ,45 = 15см, BD = 12 см, АС = 17 см, ВС = 8 см, CD = ] 0 см. 301. На рисунке 136 изображен куб ABC-DA{BXC\D\ Найдите угол между плоскостями AtAD и B\BD . 302. Через катет прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 60°. Найдите углы, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью. 303. Угол между плоскостями а и (3, которые пересекаются по пря мой т. равен 30°. В плоскостях а и р выбраны точки М и Е соответственно и из них проведены перпендикуляры MN и ЕК к прямой т. Найдите длину отрезка ME, если MN = 10V3 см, КЬ р,5 см, МК — 5л/14 см. 304. Плоскости а и Р пересекаются по прямой т. Из точек А и М, ле жащих в плоскостях а и р соответственно, проведены перпенди- А, Z S ? » к-- г ч D, Т Рис IA6 А Вариант 3 97 куляры МК и АЕ к прямой т. Найдите угол между плоскостями а и р, если КЕ = 2^1 см, ME = 10 см, МА = 2Vl7 см, АЕ - 8 см. 305. Через точку О пересечения диагоналей прямоугольника ABCD проведена прямая т, перпендикулярная плоскости прямо угольника. Плоскость, проведенная через сторону АВ, пересекает прямую т в точке Е. Угол между плоскостями АСВ и ЛЕВ ра вен 30°. Найдите длину проекции отрезка ЕО на плоскость ЛЕВ, если AD = 12см. 306. Из точки А, лежащей вне плоскости а, проведены к ней две наклонные АВ и АС, которые образуют с плоскостью а углы 30° и 60° соответственно. Найдите угол между плоскостями ы и АВС, если угол между проекциями наклонных прямой. 307. Угол между двумя плоскостями равен 45°. В одной из плоскостей проведена прямая, образующая с линией пересечения угол 30°. Найдите угол, который образует зта прямая с другой плоскостью. 308. Точка М равноудалена от вершин правильного треугольника АВС. Угол между прямой МА и плоскостью АВС равен а. Найдите угол между плоскостями МЛ В и АВС. 309. Точка 5 равноудалена от вершин правильного шестиугольни ка ABCDEF. Угол между прямой SA и плоскостью АВС равен (3. Найдите угол между плоскостями SAB и SAF. Площадь ортогональной проекции многоугольника 310. Может ли площадь многоугольника быть больше, чем площадь его ортогональной проекции? 311. Найдите площадь ортогональной проекции многоугольника на некоторую плоскость, если площадь многоугольника равна 18 см2, а угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции равен 60°. 312. Площадь многоугольника равна 46-^2 см2, а площадь его ортого нальной проекции 46 см2. Найдите угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. 313. Ортогональной проекцией треугольника АВС на некоторую плоскость является прямоугольный равнобедренный треугольник /4]В|С| с гипотенузой 12 см. Найдите угол между плоскостями АВС и АхВуС\, если площадь треугольника АВС равна 72 см2. 314. Площадь четырехугольника равна 180 см2. Его ортогональной проекцией является параллелограмм, одна из сторон которого равна 12 см, а угол между сторонами — 60°. Найдите неизвест ную сторону параллелограмма, если угол между плоскостью данного четырехугольника и плоскостью его проекции равен 30°. 315. Площадь треугольника АВС равна 75 см‘. Его ортогональной проекцией на некоторую плоскость является треугольник .4,71, Ct со сторонами 8 см, 18 см и 20 см. Найдите угол между плос костями АВС и .4, В| С ,. 316. Ортогональной проекцией равнобокой трапеции на плоскость а является трапеция площадью 50 см". Найдите угол между плоскостью а и плоскостью данной трапеции, если основания этой трапеции равны 5 см и 15 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. 98 __________ Тренировочные упражнения Вариант 1 9 9 КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Вариант 1 Контрольная работа № 1 Тема. Систематизация и обобщение фактов и методов планиметрии 1. ° На рисунке 137 D P - P E , D K - K E . Докажите равенство углов К О М и КЕМ. 2. ° В треугольнике А В С высота B D делит сторо ну Л С на отрезки A D и DC, ВС = 6 см, Z А = 30°, Z CBD = 45°. Найдите сторону А В треугольника. 3. * Продолжения боковых сторон А В и C D трапе ции ABCD пересекаются в точке М, D C : С М — = 3 :5 , В С - меньшее основание трапеции. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 26 см. 4. ’ Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных на эту прямую равна 4 см. 5. *’ Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой сто роне и образует с основанием трапеции угол а. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R. *1234 Контрольная работа № 2 Гема. Введение в стереометрию 1. ° На рисунке 138 изображен куб A B C D A XB XC \ D X. Укажите прямую пересечения плоскостей ACfD и A B B t . 2. ° Даны точки А, В и С такие, что А В = 2 см, В С = 5 см, АС = 3 см. Сколько существует плос костей, содержащих точки А, В и С? Ответ обоснуйте. 3. ’ Плоскость а проходит через вершины А и D параллелограмма ABCD и точку О пересечения его диагоналей. Докажите, что точка В принадлежит плоскости а. 4. " Прямая т является линией пересечения плоскостей а и (3 . Пря мая а лежит в плоскости а и пересекает плоскость р. Докажите, что прямые а и т пересекаются. / г ~ 7 1 1 17, В ;.... * V С, Рис 138 Рис. 137 100 Контрольные работы 5.** Постройте сечение пирамиды SABC плоскостью, которая проходит через точки М, К и N, принадлежащие соответственно ребрам SA, SB и ВС, причем прямые МК и АВ не параллельны. Контрольная работа № 3 Тема. Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости 1. ° Прямые а и Ь скрещивающиеся и прямые а и с скрещивающиеся. Можно ли утверждать, что прямые Ь н с скрещивающиеся? 2. ° Прямая а параллельна прямой b, лежащей в плоскости а. Можно ли утверждать, что прямая а обязательно параллельна плоскос ти а? 3. ° Через концы отрезка MN и его середину К проведены параллель ные прямые, пересекающие некоторую плоскость а в точках М \, N] и А', соответственно. Найдите длину отрезка ККХ, если отре зок MN не пересекает плоскость а и ММ{ - 22 см, NN} - 8 см. 4. ’ Плоскость а пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и К соответственно и параллельна стороне АС, МК = 4 см, МВ : МА = 2:3. Найдите длину стороны АС треуголь ника. 5. ’ Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC. Точки М, Р, К и Е — середины отрезков АВ. ВС, CD и AD соответственно, МК - РЕ - 10 см, .АС = 12 см. Найдите длину отрезка BD. 6 . " Через параллельные прямые а и Ь проведены две плоскости, которые пересекаются по прямой с. Докажите, что прямые а и Ъ параллельны прямой с. *1 Контрольная работа № 4 Тема. Параллельные плоскости. Изображение фигур на плоскости 1. ° Плоскости а и р параллельны. В плоскости а выбраны точки А и В, а в плоскости Р — точки С и D такие, что прямые АС и BD / параллельны. Найдите длины отрезков CD и BD, если АВ - 4 см, АС = 5,6 см. 2. ° Точки А] ,В ] и С, — параллельные проекции вершин А, В и С па раллелограмма ABCD на некоторую плоскость соответственно (рис. 139). Постройте проекцию вершины D параллелограмма на эту плоскость. Вариант 1 101 Рис. 139 Рис. 140 Рис. 141 3. ’ Четырехугольники ABCD и D E C F ■— параллелограммы, причем точка В не принадлежит плоскости A FD (рис. 140). Докажите, что плоскости AP'D и ВСЕ параллельны. 4. * Плоскости а и р параллельны. Из точки М , не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости а и р в точках А 1 и В], а другой — в точках А2 и В 2 соответственно. Найдите длину отрезка В ХВ 2 , если он на 2 см больше отрезка А ХА 2 , М В Х - 1 см, А 1В 1 = 4 см. 5. ’* Точки А 1 , S, и С| — параллельные проекции точек А , й и Сна плоскость а (рис. 141). Постройте прямую пересечения плос костей а и АВС. Контрольная работа № 5 Тема. Перпендикулярность прямой и плоскости 1. °Из точки А к плоскости а проведена наклонная длиной 10 см. Найдите расстояние от точки А до плоскости, если проекция наклонной на плоскость равна 6 см. 2. ° Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника АВС к его плоскости проведен перпендикуляр СМ. Найдите длину стороны АВ треугольника АВС, если СМ- 8 см, ВМ = 17 см, В, ZCAB = 30°. AM 3. ’ На рисунке 142 изображен прямоуголь ник ABCD. Отрезок МС — перпендикуляр к плоскости АВС. Докажите, что прямая AD ( перпендикулярна плоскости DMC. 4. ' Из точки А к плоскости а проведены две наклонные АВ и AD. Проекции этих наклонных на плоскость а равны 7 см и 18 см. Найдите расстояние от точки А до плоское ти а, если АВ : AD = 5 :6 . Рис. 142 102 Контрольные работы 5.** Прямая Р В перпендикулярна плоскости ромба A B C D . Докажите, что Z P D A = Z P D C . Контрольная работа № 6 В .----— ^ Р и с 1 4 3 М С Тема. Т е о р е м а о т р е х п е р п е н д и к у л я р а х . П е р п е н д и к у л я р н о с т ь п л о с к о с т е й 1.° Через вершину С квадрата A B C D проведена прямая М С , перпендикулярная плоскости квадрата (рис. 143). 1) Докажите, что прямые B D и М О перпенди кулярны. 2) Вычислите расстояние от точки М до прямой B D , если М С = 1 см, C D =■ 4 см. 2 / Через вершину D прямоугольника A B C D к его плоскости про веден перпендикуляр D E . Точка Е удалена от стороны А В на 10 см, а от стороны В С — на 17 см. Найдите длину диагонали B D , если D E - S m . 3.’ Плоскости а и Р перпендикулярны. Прямая а — линия их пере сечения. В плоскости а выбрали точку А, а в плоскости Р — точ ку В такие, что расстояния от них до прямой а равны 4 см и 5 см соответственно. Найдите расстояние между точками А и В. если *12 расстояние между их проекциями на прямую а равно 2 л/ 2 см. 4.** Сторона равностороннего треугольника равна 12 см. Точка Р равноудалена от сторон треугольника и находится на расстоя нии 2 см от его плоскости. Найдите расстояние от точки Р до сторон треугольника. Контрольная работа № 7 Тема. У го л м е ж д у п р я м о й и п л о с к о с т ь ю . У го л м е ж д у п л о с к о с т я м и 1. °Из точки А к плоскости а проведена наклонная, длина которой равна 6 см и которая образует с плоскостью а угол 60°. Найдите длину проекции наклонной на плоскость и расстояние от точки А до плоскости. 2. ° Плоскости а и (3 пересекаются по прямой а. В плоскости а выбрали точку А такую, что расстояние от нее до плоскости Р равно 4 см, а до прямой а — 8 см. Найдите угол между плоскостями а и р. Вариант 1 103 3. " Треугольник А В С , плошадь которого равна 24 см1 2 23*56, является ортогональной проекцией равностороннего треугольника <4,Я, С, со стороной 8 см. Найдите угол между плоскостями А В С и Л, Я, Г ,. 4. ' Угол между плоскостями треугольников А В С и A B D равен 45°. Треугольник А В С — равносторонний со стороной 4л/з см, тре угольник A B D — равнобедренный, A D = BD~~J 14 см. Найдите длину отрезка CD. 5. ‘* Из точки к плоскости проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы по 30°. Найдите угол между проекциями наклонных, если угол между наклонными равен 60°. Контрольная работа JV» 8 Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся 1. ° Прямая т параллельна прямой п, которая параллельна плоскос ти р. Можно ли утверждать, что прямая т обязательно парал лельна плоскости Р? < 2. ° Плоскость а перпендикулярна прямой Ь, а прямая Ь перпендику лярна плоскости у. Каково взаимное расположение плоскостей а и Y?' 3. ° Через вершину В треугольника А В С , в котором А В = В С = 34 см, /1C = 32 см, проведен перпендикуляр DB к плоскости треуголь ника. Найдите угол между плоскостями А В С и A D C , если D B = 20 см. 4 / Точка М равноудалена от всех сторон квадрата со стороной 6 см и находится на расстоянии 9 см от плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки М до сторон квадрата. 5. ’ Точка А находится на расстоянии 9 см от плоскости а. Наклонные А В и А С образуют с плоскостью а углы 45° и 60° соответственно. Найдите расстояние между точками С и Я, если угол между проекциями наклонных равен 150°. 6 . *’ Через гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 45°. Найдите углы, которые образуют катеты треугольника с этой плоскостью. Ответ на вопрос задачи не требует обоснования. 104 Контрольные работы Вариант 2 Контрольная работа № 1 Тема. Систематизация и обобщение фактов и методов планиметрии 1.° На рисунке 144 А В = В С , A D - D C . Докажите равенство отрезков А Е и Е С . 2 ° Высота B D треугольника А В С делит сторо ну А С на отрезки A D и D C , А В = 12 см, Z A = 6 0 °, Z .C B D = 45°. Найдите сторону В С треугольника. 3. ’ Продолжения боковых сторон А В и C D трапеции A B C D пересекаются в точке F , А В : B F = 3 : 7, A D — большее основание трапеции. Найдите осно вания трапеции, если их разность равна 6 см. 4. ' Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 9 см и 16 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если одна из наклонных на 5 см больше другой. 5. ** Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой сто роне, а угол между боковой стороной и большим основанием трапеции равен а. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если ее высота равна И. 1234 Контрольная работа № 2 Гема. Введение в стереометрию 1. ° На рисунке 145 изображен куб' ABCDAiBlC^D] . Укажите прямую пересечения плоскостей B^CD и A D D ,. 2. ° Даны точки А , В и С такие, что А В = 4см, В С = 6 см, А С = 7 см. Сколько существует плоскостей, содержащих точки А , В и С? Ответ обоснуйте. 3. ‘ Плоскость ос проходит через вершины А и В тре угольника А В С и середину D стороны А С . Дока жите, что точка С принадлежит плоскости ос. 4. ’ Известно, что плоскости а и (3 пересекаются. Прямая а лежит в плоскости а и пересекает плоскость р в точке А , прямая b лежит в плоскости р и пересекает плоскость ос в точке В. Докажите, что прямая А В является линией пересечения плоскостей а и р. Рис. 145 i Вариант 2 105 5.” Постройте сечение куба A B C D A \B \C \D ^ плоскостью, проходящей че[1ет вершину В, и точки М и К, которые принадлежат соот ветственно ребрам А В и CCt . _______________________________________ ______________ Контрольная работа № 3 Гема. Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости 1. ° Прямые а и b скрещивающиеся, а прямые h и с параллельны. Можно ли утверждать, что прямые а и с скрещивающиеся? 2. ° Прямая а не параллельна прямой Ь, принадлежащей плоскости а. Можно ли утверждать, что прямая и обязательно не является параллельной плоскости а? 3. ° Через концы отрезка А В и его середину С проведены параллель ные прямые, пересекающие некоторую плоскость а в точках At, В, и С, соответственно. Найдите длину отрезка ССХ, если отрезок А В не пересекает плоскость а и АА] 18 см, В В 1 = 10 см. 4. * Плоскость Р пересекает стороны А В и А С греугольника АВС в точках N и D соответственно и параллельна стороне ВС, AD —6 см, D N : C B = 1 : 4. Найдите длину стороны А С треугольника. 5. " Точка D не лежит в плоскости треугольника А В С . Точки М , Р , К и Е — середины отрезков A D . D C , С В и А В соответственно. А С = B D - 8 см, М Р = К Е . Найдите длину отрезка М Р . 6. “ Через каждую из прямых а и h проведена плоскость. Эти плос кости пересекаются по прямой с, которая не пересекает ни одну из прямых а и Ь. Докажите, что прямые а и Ь параллельны. *I. Контрольная работа № 4 Тема. Параллельные плоскости. Изображение фигур на плоскости I. 0 Плоскости о. и Р параллельны. В плоскости а выбрали точки А и С, а в плоскости Р — точки В и D такие, что прямые А В и C D параллельны. Найдите длины отрезков А В и B D , если А С = 7 см, C D - 4,7 см. 2.° Точки ,4j, В { и £>, -. параллельные проекции вер шин А , В и D параллелограмма A B C D на некоторую плоскость соответственно (рис. 146). Постройте про- ^ ^ екцию вершины С параллелограмма на эту Рис. 146 плоскость. / 3.’ Четырехугольнику A B C D и B D E F — парал лелограммы, причем точка F не принадлежит плоскости A D E (рис. 147). Докажите, что плоскости A D E и B C F параллельны. 4 / Плоскости сг и Р параллельны. Через точку М, находящуюся между этими плоскостями, про ведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости а и р в точках .4, и В у, а другая — в точках А2 и В 2 соответственно. Найдите длину отрезка А{А2, если он на 1 см 106______________________________________________ Контрольные работы меньше отрезка /?, В2, М А2 = 4 см, Л2В 2 5.’* Точки Ал , й, и С, — параллельные проекции точек А . В и С на плоскость а (рис. 148). Постройте точку пересечения прямой, содержащей медиану тре угольника А В С , проведенную из вер шины А , с плоскостью а. 1 0 см. / / _ й _ В в, 1с Рис. 1 4 8 Контрольная работа № 5 Тема. Перпендикулярность прямой и плоскости 1. °Из точки М к плоскости р проведена наклонная. Проекция наклонной на эту' плоскость равна 5 см, а расстояние от точки М до плоскости равно 12 см. Найдите длину наклонной. 2. ° Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника А В С к его плоскости проведен перпендикуляр C D . Найдите длину стороны А В треугольника А В С , если A D = 2 0 см, C D = 16 см, ZCAB = 60°. 3.' На рисунке 149 треугольник В С Е и прямо угольник A B C D не лежат в одной плоскости, Z A B E = 90°. Докажите, что прямая D C перпен дикулярна плоскости В С Е . 4 / Из точки К к плоскости Р проведены две наклонные К Р и KD. Найдите расстояние от точки К до плоскости р, если K D - К Р - 2 см, а длины проекций наклонных равны 9 см и 5 см. 5.’* Прямая SA перпендикулярна плоскости четырехугольника A B C D . Известно, что А В = A D , Z D S C = Z B S C . Докажите, что В С = C D . Рис. N 9 Вариант 2 107 D Контрольная работа № 6 Тема. Т е о р е м а о т р е х п е р п е н д и к у л я р а х . П е р п е н д и к у л я р н о с т ь п л о с к о с т е й 1.° Через вершину А равностороннего треугольни ка А В С проведена прямая D A , перпендикуляр ная плоскости треугольника, точка М — се редина стороны В С (рис. 150). 1) Докажите, что прямые В С и M D перпенди кулярны. 2) Вычислите расстояние от точки D до A D - 4 см, А В = 6 см. Р и с 150 прямой В С , если 2.' Через вершину А прямоугольника A B C D к его плоскости проведен перпендикуляр А Р . Найдите длину этого перпендикуляра, если В С = 12 см, D B - 13 см, а точка Г удалена от прямой В С на Vl06 см. 3. " Плоскости а и р перпендикулярны. Прямая / — линия их пересечения. В плоскости а выбрали точку М, а в плоскости Р — точку N такие, что расстояния от них до прямой / равны 6 см и 7 см соответственно. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из точек М и N к прямой /, если расстояние между точками М и N равно л/П() см. 4. *’ Сторона ромба равна 4 см, а острый угол — 60°. Точка М удалена от каждой стороны ромба на 5 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ромба. 1 Контрольная работа № 7 Тема. У го л м е ж д у п р я м о й и п л о с к о с т ь ю . У го л м е ж д у п л о с к о с т я м и 1. °Из точки Р к плоскости р проведена наклонная, образующая с плоскостью угол 30° Найдите длину наклонной и расстояние от точки Р до плоскости Р, если проекция наклонной на плоскость равна 6 см. 2. ° Плоскости а и Р пересекаются по прямой /. В плоскости а выбрали точку- К и из нее провели перпендикуляр К М к плоскос ти р. Расстояние от точки К до плоскости р равно 4>/з см, а расстояние от точки М до прямой / — 4 см. Найдите угол между плоскостями а и р. 3. ’ Площадь треугольника А В С равна 36 см\ Его ортогональная про екция — равнобедренный прямоугольный треугольник А , В {С\ . гипотенуза которого равна 6^2 см. Найдите угол между плоскостями А В С и А 1В ]С 1 . 4. ’ Угол между плоскостями треугольников А В С и А К С равен 60°, А С = 24 см, В С = ВА = 20 см, К С = КА = 15 см. Найдите длину отрезка ВК. 5. " Из точки к плоскости проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы по 45°. Найдите угол между наклонными, если угол между их проекциями равен 90°.