3.1. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причём в каждой партии одно изделие - бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую. После этого наудачу выбирается одно изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии. 3.2. В двух урнах находятся соответственно и белых и и чёрных шаров. Из каждой урны наудачу извлекается по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу выбирается один. Какова вероятность того, что этот шар будет белым? 3.3. Имеется одинаковых урн, в каждой из которых белых и k чёрных шаров. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны наудачу извлекается один шар и перекладывается в третью урну и т.д. Определить вероятность извлечения после таких перекладываний белого шара из последней урны. 3.4. Имеется три партии деталей. Для контроля качества деталей из наудачу выбранной партии наудачу взята одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной детали, если в одной из партий общего количества деталей - бракованные, а в двух других – все доброкачественные? 3.5. В двух из трёх одинаковых урн находятся по два чёрных и по два белых шара, а в третьей пять белых и один чёрный шар. Из наудачу выбранной урны извлекли один шар, который оказался белым. Какова вероятность того, что извлечение проводилось из урны, содержащей пять белых шаров? 3.6. В каждой из урн находится белых и штук чёрных шаров, а в каждой из урн - белых и штук чёрных шаров. Извлечённый из наудачу выбранной урны шар оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар извлечён: а) из урны первого типа; б) из урны второго типа? 3.7. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощённая схема контроля качества признаёт пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а нестандартную признаёт пригодной с вероятностью 0,05. а) Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощённый контроль, будет признано пригодным. б) Изделие по результатам упрощённого контроля признано пригодным. Какова вероятность того, что контроль не ошибся? 3.8. Вероятность поступления k вызовов на телефонную станцию за промежуток времени длиною t равна . Считая, что количества вызовов за любые два соседних промежутка времени длиною t каждый - независимыми, определить вероятность поступления s вызовов за промежуток времени длиною 2t. 3.9. Определить вероятность того, что 100 лампочек, взятых наудачу из 1000, окажутся исправными, если известно, что число испорченных лампочек на 1000 штук равновозможно от 0 до 5. 3.10. В тире имеется пять ружей, вероятности попадания при одном выстреле из которых соответственно равны: 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9.Стреляющий берёт винтовку наудачу и делает дин выстрел. Определить вероятность попадания. 3.11. Вероятность попадания снаряда в цель при одном выстреле равна 0,7, а вероятность разрушения цели при попадании в неё одного снаряда равна 0,9. Орудие произвело подряд три выстрела. Какова вероятность того, что цель будет разрушена? 3.12. В сосуд, содержащий n шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном числе белых шаров в урне – равновозможные? Какова вероятность того, что в урне содержались: а) только белые шары; б) только чёрные шары, если извлечённый шар оказался белым? 3.13. В урне имеется n шаров, причём цвет каждого из них с равными вероятностями может быть белым или чёрным. Извлекаются последовательно m шаров с возвращением каждый раз шара обратно после фиксирования его цвета. Какова вероятность того, что в урне содержатся только белые шары, если чёрные шары не извлекались? 3.14. В ящике находится 15 теннисных мячей, из которых – 9 новых. Для первой игры наугад берут три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, - новые. 3.15. В правом кармане имеются три монеты по 50 копеек и четыре монеты по 10 копеек, а в левом – шесть монет по 50 копеек и три монеты по 10 копеек. Из правого кармана в левый карман наудачу перекладываются пять монет. После этого из левого кармана наудачу извлекается одна монета. Определить вероятность того, что это будет монета достоинством в 50 копеек. Как изменится эта вероятность, если сначала перекладывать монеты из левого кармана в правый карман, а потом из правого кармана наудачу брать монету такого же достоинства? 3.16. Из 30 вопросов программы составлено пятнадцать билетов, каждый из которых состоит из двух вопросов. Экзаменующийся студент может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен экзаменующимся будет сдан, если для этого надо ответить на два вопроса билета или на один из вопросов билета и на один дополнительный вопрос, заданный экзаменатором. 3.17. Преподаватель составил по программе курса M экзаменационных билетов. Студент успел выучить m билетов . Возникает вопрос: «Каким по списку ему лучше всего идти на экзамен (первым, вторым, третьим, …, последним), чтобы вероятность взять «хороший» билет была максимальной»? 3.18. В маршрутном такси едут n пассажиров. На ближайшей остановке каждый из них может выйти с вероятностью p. На этой остановке в такси с вероятностью могут войти два новых пассажира. С вероятностью может войти один новый пассажир и с вероятностью не войдёт ни один новый пассажир . Найти вероятность того, что, когда такси после этой остановке снова тронется в путь, в салоне будут: а) по-прежнему n пассажиров; б)n-1 пассажир. 3.19. Из восемнадцати стрелков пять попадают в мишень с вероятностью 0,8; семь – с вероятностью 0,7; четыре - с вероятностью 0,6 и два – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок? 3.20. Стрелки A и B поочерёдно стреляют в мишень. Вероятности попадания первыми выстрелами для них равны соответственно 0,4 и 0,5, и затем при последующих выстрелах эти вероятности попадания у каждого стрелка увеличиваются на 0,05. Какова вероятность того, что первым произвёл выстрел стрелок A, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень? 3.21. Вероятности попадания при одном выстреле для трёх стрелков равны соответственно . При одновременном выстреле всех трёх стрелков имелось два попадания в мишень. Определить вероятности того, что промахнулся: а) первый, б) второй, в) третий стрелок. 3.22. Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который в результате был убит одной пулей. Определить вероятности того, что вепрь убит первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. Эти вероятности должны помочь установить долю каждого стрелка при делении трофея. 3.23. Из двух близнецов первый – мальчик. Какова вероятность того, что другой тоже мальчик, если среди близнецов вероятности рождения двух мальчиков и двух девочек соответственно равны a и b, а вероятности рождения разнополых близнецов в любой последовательности – одинаковы? 3.24. В колледже n студентов, из которых студентов учится k-тый год, то есть: . Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них учится больше другого. Найти вероятность того, что этот студент учится третий год? 3.25. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что при приёме искажаются в среднем сигналов «точка» и сигналов «тире». То есть, в результате искажения сигнал «точка» принимается как сигнал «тире» и - наоборот. Известно, что в передаваемых сообщениях сигналы «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3. Определить вероятность того, что принят без искажения передаваемый сигнал, если: а) принят сигнал «точка»; б) принят сигнал «тире». 3.26. Урна содержала m белых и n чёрных шаров. Но один шар, цвет которого неизвестен, утерян. 1) При испытании состава урны наугад извлекли один шар, который оказался белым. Какова вероятность того, что был утерян белый шар? 2) При испытании состава урны одновременно извлекли а белых и b черных шаров . Какова вероятность того, что был утерян белый шар? 3.27. Урна содержит два шара, про цвет каждого из них известно, что он с равными вероятностями может быть и белым, и чёрным. В урну добавляют два белых шара, затем наудачу извлекают два шара, которые оказались белого цвета. Какова вероятность того, что в урне остались шары чёрного цвета? 3.28. В первой урне белых и чёрных шаров, во второй - белых и чёрных шаров и в третьей - белых и чёрных шаров. Из первой урны наудачу берут один шар и перекладывают его во вторую. Затем перекладывают один шар из второй урны в третью и, наконец, из третьей урны перекладывают один шар в первую. Какова вероятность того, что: а) составы всех урн не изменится; б) состав первой урны не изменится? 3.29. Брошены три игральных кости. Найти вероятность того, что на всех костях выпало по шесть очков, если известно, что, по крайней мере, на одной кости выпало шесть очков. 3.30. В первой урне находятся 1 белый и 9 чёрных шаров, а во второй – 1 чёрный и 4 белых. Из каждой урны удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что вынутый из третьей урны шар окажется белым. 3.31. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулёзом у больного этой болезнью равна . Вероятность признать здорового человека больным равна . Пусть доля больных туберкулёзом по отношению ко всему населению равна . По результатам обследования человек был признан больным. Какова вероятность того, что диагноз ошибочен, то есть того, что в действительности этот человек здоров? 3.32. На сборку поступают детали с двух станков-автоматов. Первый станок даёт в среднем 0,2% брака, второй – 0,1%. Найти вероятность того, что взятая слесарем-сборщиком деталь будет «хорошей», если с первого станка-автомата поступило 2000 штук деталей, а со второго – 3000 штук. 3.33. Имеются три урны, причём в k-той урне белых и чёрных шаров . Из двух наудачу выбранных урн взяли по одному шару. Определить вероятность того, что это будут шары разных цветов. 3.34. В кошельке имеются шесть монет достоинствами в 10 и 50 копеек. Наудачу извлекли две монеты, оказавшиеся пятидесятикопеечными. Определить вероятность того, что в кошельке было поровну десяти- и пятидесятикопеечных монет, если все предположения о первоначальном распределении количеств монет этих достоинств – равновозможные. Как изменится эта вероятность, если считать, что первоначально любая из шести монет с равной вероятностью могла быть или достоинством в 10 копеек, или достоинством в 50 копеек? 3.35. Имеются десять карточек, на которых написаны числа 3,3,3,4,4,5,5,6,6,6. Наудачу одна за другой извлекаются две карточки. Число, написанное на первой карточке, берётся в качестве числителя, а число, написанное на второй карточке, - в качестве знаменателя дроби. Найти вероятность того, что полученная дробь будет правильной, то есть – её числитель будет меньше знаменателя. 3.36. В двух ящиках находятся по десять деталей первого и второго сортов. В первом ящике две второсортных детали, а во втором – три. Из выбранного наудачу ящика взяли две детали, оказавшиеся разных сортов. Из какого ящика вероятнее всего проводилось извлечение? 3.37. Первое орудие артиллерийской батареи попадает в цель с вероятностью 0,3, два других орудия в эту же цель попадают с одинаковыми вероятностями – 0,2. Для поражения цели достаточно двух попаданий. Орудия одновременно произвели по одному выстрелу, в результате чего цель была поражена. Определить вероятность того, что первое орудие попало в цель. 3.38. В каждой из трёх партий находится 30 деталей. Третья часть деталей одной из этих партий является второсортной, остальные делали в партиях – первого сорта. 1) Деталь, взятая наудачу из одной из партий, оказалась первосортной. Определить вероятность того, что эта деталь была взята из партии имеющей второсортные детали. 2) Первая деталь, после проверки её качества, была возвращена обратно. Вторая деталь, взятая наудачу из этой же партии, так же оказалась первосортной. Какова вероятность того, что извлечения проводились из партии имеющей второсортные детали? 3) Вторую деталь, после проверки её качества, возвратили обратно. Из этой же партии взяли снова наудачу деталь. Эта третья деталь так же оказалась первосортной. Какова теперь вероятность того, что все три извлечения проводились из партии, имеющей второсортные детали? Сравнить полученные вероятности с аналогичными вероятностями, вычисленными при условиях, что две, три детали берутся одновременно. Проверяется их качество и все они оказываются первосортными. Как объяснить полученные результаты? 3.39. В первой урне общего числа шаров составляют шары белого цвета. Остальные шары – чёрного цвета. Во второй урне, наоборот, число шаров белого цвета составляет общего числа шаров. Остальные шары в этой урне – чёрные. Игрок наудачу выбирает урну и производит извлечения из неё по одному шару, возвращая каждый раз шар обратно после фиксирования его цвета. Известно, что в каждом из сделанных k извлечений появлялся только шар белого цвета. Как изменяются в связи с появлениями каждый раз шара белого цвета предположения игрока о том, что он проводит извлечения: а) из первой урны; б) из второй урны? 3.40. Получена партия из восьми изделий одного образца. Все предположения о количестве бракованных изделий в этой партии равновозможные. По данным проверки качества половины партии три изделия оказались технически исправными, а одно – бракованным. Какова вероятность того, что при проверке качества трёх последующих изделий одно окажется исправным, а два окажутся бракованными?
4.1. Определить вероятность того, что в номере первой встретившейся автомашины: а) имеется одна цифра пять; б) имеются две цифры пять; в) нет цифры пять; г) есть хотя бы одна цифра пять. Известно, что все номера трёхзначные, неповторяющиеся и равновозможные. 4.2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье: а) пять мальчиков; б) мальчиков не менее трёх, но и не более восьми. 4.3. Имеется таблица двузначных чисел от 00 до 99. Из этой таблицы наудачу выписываются 200 чисел. Какова вероятность того, что среди выписанных чисел число 33 встретится а) три раза; б) четыре раза; в) не более четырёх раз? 4.4. Производятся три выстрела по некоторой цели. Вероятности попадания в цель изменяются в соответствии с номерами выстрелов: . Найти распределение вероятностей возможного числа попаданий. 4.5. Монета бросается m раз. Найти вероятность того, что «герб» появится не менее чем k, но и не более чем l раз, . 4.6. Монета бросается девять раз. Определить вероятность того, что число выпадений «герба» будет нечётным. Обобщить задачу для случая, когда количество бросаний нечётное число. 4.7. Монета бросается десять раз. Определить вероятность того, что число выпадений «герба» будет нечётным. Обобщить задачу для случая, когда количество бросаний чётное число. 4.8. Что вероятнее: а) выиграть у равносильного противника три партии из четырёх, или выиграть пять партий из восьми; б) выиграть не менее трёх партий из четырёх, или выиграть не менее пяти партий из восьми? 4.9. Имеется n лунок, в которые случайным образом разбрасываются m шариков. Найти вероятность того, что в заранее отмеченную лунку попадёт ровно k шариков. 4.10. Вероятность попадания в цель бомбы, сброшенной с самолёта, равна . Производится серии из десяти одиночных бомбометаний. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель и вероятность этого числа попаданий. 4.11. Орудия артиллерийской батареи сделали четырнадцать выстрелов по объекту, вероятность попадания в который при одном выстреле равна 0,2. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий и его вероятность; б) вероятность полного разрушения объекта, если для этого требуется не менее четырёх попаданий. 4.12. Вероятность наступления некоторого события A в каждом из n=6 независимых испытаний равна p. а) Какова вероятность того, что событие наступит только последовательно (подряд) три раза? б) Какова вероятность того, что событие A будет наступать только последовательными сериями по два раза? 4.13. Три игральных кости подбрасываются пять раз. Найти вероятность того, что а) два раза выпадут три единицы; б) три раза выпадут две единицы. 4.14. Найти вероятность того, что при проведении 2n испытаний появятся n+m успехов, при этом все испытания с чётными номерами закончатся успехом. Вероятность успеха в одном испытании равна p, а вероятность неудачи – q. 4.15. Монета брошена n раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет хотя бы один раз. 4.16. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей, чем P=0,9 быть уверенным, что герб выпадет хотя бы один раз. 4.17. Получена партия приборов для проведения испытаний на надёжность. Вероятность отказа прибора при испытании равна . Сколько приборов нужно подвергнуть испытаниям, чтобы с вероятностью не менее, чем: а) ; б) ; в) получить хотя бы один отказ? 4.18. Вероятность попасть при одном выстреле в «десятку» для данного стрелка равна p. Сколько нужно произвести выстрелов этому стрелку, чтобы с уверенностью не менее чем P утверждать, что у него будет хотя бы одно попадание в «десятку»? 4.19. За один цикл работы станок-автомат изготовляет 15 деталей. За какое количество циклов работы вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не менее чем 0.9, если вероятность изготовления бракованной детали равна 0.01? 4.20. В одном из матчей на первенство мира по шахматам был установлен следующий регламент. За выигрыш партии участник получал одно очко, за проигрыш – ноль очков, ничьи не учитывались. Победителем матча назывался тот участник, который первым набрал шесть очков. Считая результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что проигравший участник матча наберёт k очков . 4.21. В урне находятся три шара: чёрного, белого и красного цветов. Производится пять извлечений по одному шару, причём каждый раз после фиксирования цвета шар возвращается обратно. Какова вероятность того, что шары чёрного и белого цветов были извлечены: а) по два раза каждый; б) не менее, чем по два раза каждый? 4.22. Мишень состоит из центрального круга и двух колец, образованных концентрическими окружностями. Вероятность попадания при одном выстреле в круг равна , вероятности попадания в первое, внутреннее и во второе, внешнее кольца равны соответственно и , . Стрелок произвёл шесть выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что стрелок три раза попал в круг, два раза – во внутреннее кольцо и один раз – во внешнее кольцо. 4.23. Монета бросается до тех пор, пока «герб» не выпадет пять раз. Что более вероятно: монета будет бросаться восемь раз или десять раз? 4.24. Игральная кость бросается до тех пор, пока число очков кратное трём не появится k раз. Определить вероятность того, что будет сделано n бросаний. 4.25. Для победы в волейбольном состязании команде необходимо выиграть три партии. Команды – неравносильные. Определить вероятность выигрыша одной партии для сильной команды, если для уравнивания шансов на победу она должна дать «фору» слабой команде: а) два очка; б) одно очко. 4.26. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске у них соответственно равны: и . Найти вероятность того, что: а) у них будет равное количество попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго; в) у второго баскетболиста будет больше попаданий, чем у первого. 4.27. Вероятность забросить мяч в корзину при одном броске для данного баскетболиста равна 0,4. Произведено десять бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность. 4.28. Игральная кость брошена шесть раз. Найти вероятность того, что на верхней грани появятся одна, две, три, четыре, пять и шесть точек по одному разу. 4.29. Матч между двумя шахматистами проводится на следующих условиях: 1) учитываются только результативные партии; 2) победителем считается тот, кто первым наберёт четыре очка при условии, что у его противника при этом будет не более двух очков; 3) если у обоих игроков будет по три очка, то победителем считается тот, кто первым наберёт пять очков. Определить вероятность победы в матче для каждого из игроков, если вероятности выигрыша любой партии у них относятся как три к двум. 4.30. Для прикуривания гражданин пользовался двумя коробками спичек, доставая наудачу ту или иную коробку. Через некоторое время он обнаружил, что одна коробка пуста. Какова вероятность того, что во второй коробке при этом осталось k спичек, если вначале в каждой коробке было по n спичек? (Задача Банаха).
5.1. В круг, длина радиуса которого равна r, наудачу бросается точка. Возможность попадания точки в любую область круга не зависит от места положения области в круге и пропорциональна лишь площади этой области. Какова вероятность того, что расстояние от точки до центра круга будет меньше, чем половина длины радиуса? 5.2. В круг, длина радиуса которого равна r, наудачу бросается точка. Возможность попадания точки в любую область круга не зависит от места положения области в круге и пропорциональна лишь площади этой области. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг квадрата? 5.3. Прямоугольная решётка состоит из прутьев цилиндрической формы, радиус которых равен r. Расстояния между осями прутьев равны a и b. В решётку наудачу бросается шарик диаметром d. Траектория полёта шарика перпендикулярна плоскости решётки. Определить вероятность того, что шарик не заденет прутьев решётки. 5.4. На плоскости проведены параллельные прямые, расстояния между которыми попеременно равны 1,5см и 8см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на плоскость круг радиуса 2,5см не пересечёт ни одной линии. 5.5. В круге радиуса длиною R параллельно заданному направлению проводятся хорды. Какова вероятность того, что длина наудачу проведённой хорды будет не более чем R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром перпендикулярным заданному направлению? 5.6. Из наудачу выбранной на полуокружности точки на диаметр опускается перпендикуляр. Какова вероятность того, что длина этого перпендикуляра будет меньше, чем половина длины радиуса? 5.7. В круге радиуса r наугад выбирается точка. Из этой точки, перпендикулярно отрезку, соединяющему точку с центром круга, проводится хорда. Какова вероятность того, что длина этой хорды не превосходит r? 5.8. Перед вращающимся с постоянной скоростью диском находится экран длиной 2h, расположенный в плоскости диска таким образом, что прямая, соединяющая середину экрана с центром диска, перпендикулярна этому экрану. По касательной к окружности в произвольный момент времени слетает частица. Определить вероятность попадания этой частицы в экран, если расстояние между ним и центром диска равно l. 5.9. На отрезке длиною l наудачу выбраны две точки, в результате чего этот отрезок оказался разделённым на три части. Определить вероятность того, что из трёх получившихся частей можно построить треугольник. 5.10. На отрезке длиною l наудачу выбраны две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше kl, где ? 5.11. На отрезке AB длиною l наудачу поставлены две точки L и M. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке M, чем к точке A. 5.12. На отрезке длиною l наудачу поставлены две точки. Определить вероятность того, что длины каждого из трёх получившихся отрезков не превосходит заданной величины a, где . 5.13. В квадрате, вершины которого имеют координаты: и , ставится наудачу точка M, координаты которой . Определить вероятность случайного события . 5.14. В круге радиуса r с центром в начале координат наудачу ставится точка M. Пусть - её координаты. Определить вероятность случайного события . 5.15. Около одной из двух окружностей, имеющих одинаковые радиусы, описан правильный треугольник. В другую окружность правильный треугольник - вписан. Что более вероятно: попасть наудачу брошенной точкой в часть треугольника, лежащую вне первой вписанной окружности, или в часть круга ограниченного второй окружностью и лежащую вне вписанного треугольника? 5.16. Два товарища договорились о встрече в течение промежутка времени T. Тот, кто первым придёт на место встречи ждёт товарища не более t минут. Определить вероятность того, что встреча состоится, если время прихода на место встречи каждого из них равновозможно в течение договоренного промежутка времени T. 5.17. Два корабля должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих кораблей независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из кораблей придётся ожидать освобождения причала, если время стоянки первого корабля у причала один час, а второго – два часа. 5.18. На окружности радиуса R наудачу поставлены три точки. Какова вероятность того, что получившийся треугольник будет остроугольным? 5.19. Из множества положительных чисел, которые не превосходят единицу, наудачу выбираются два числа. Определить вероятность того, что сумма квадратов этих чисел не превосходит число 0,75. 5.20. Начало прямоугольной системы координат находится в центре круга единичного радиуса. Определить вероятность того, что сумма абсолютных значений координат наудачу выбранной внутри круга точки не превосходит длины радиуса круга. 5.21. Начало прямоугольной системы координат находится в центре шара единичного радиуса. Определить вероятность того, что сумма абсолютных значений координат наудачу выбранной внутри шара точки не превосходит длины радиуса шара. 5.22. Какова вероятность того, что из трёх наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит l, можно построить треугольник? 5.23. Какова вероятность того, что сумма длин трёх наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит l, будет больше l? 5.24. Стержень, длина которого равна l, ломается на части. а) Определить вероятность того, что, если точек излома – две, то часть стержня, оказавшаяся между точками излома, будет иметь длину не более . б) Определить вероятность того, что хотя бы одна часть стержня, оказавшаяся между точками излома, будет иметь длину не более , если точек излома - три. Точки излома равновозможны в любом месте стержня. 5.25. На сфере произвольно выбираются две точки A и B. Через эти точки проводится окружность, центр которой совпадает с центром сферы. Какова вероятность того, что дуга AB этой окружности стягивает центральный угол меньший, чем , . 5.26. В шаре, длина радиуса которого равна R, наудачу выбирается точка. Определить вероятность того, что эта точка окажется внутри куба вписанного в этот шар. 5.27. Наугад взяты два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Какова вероятность того, что их сумма будет меньше единицы, а произведение – больше ? 5.28. Определить вероятность того, что корни квадратного уравнения: будут вещественными, если значения коэффициентов уравнения равновозможны в прямоугольнике: . Какова вероятность того, что при указанных условиях корни этого уравнения будут положительными? 5.29. Из множества чисел наудачу выбираются два числа. Найти вероятность того, что сумма их квадратов будет меньше, чем . 5.30. На отрезке наудачу выбираются две точки: и . Найти вероятность случайного события . 5.31. Плоскость разграфлена параллельными прямыми линиями, отстоящими друг от друга на расстоянии L. Найти вероятность того, что наудачу брошенная на плоскость игла, длина которой равна l, пересечёт какую-нибудь линию. (Задача Бюффона).