1. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность (Х\> X2l Х3), где каждый из Х{ обозначает выпадение "герба" (Г) или |,решеткии (Р).
а) Построить пространство ft элементарных событий.
б) Описать событие Л, состоящее в том, что выпало не менее двух 11 гербов11.
2. Предположим, что три молекулярные цепочки некоторого полимера реагируют с кислородом. Каждая цепочка может прореагировать с 0, 1, 2 молекулами кислорода. Построить пространство ft элементарных событий.
3. Событие В является частным случаем события Л. Чему равны их сумма и произведение?
4. а) Определить события Л U Л и Л*Л. б) Когда события АВ и Л равносильны? в) Являются ли совместными событиями Л и
ли в?
5. Пусть на плоскость наудачу бросает точка, и пусть события Л и В состоят в том, что эта точка попадает соответственно в круг Л,
в круг В. Какой смысл имеют события Л, 5, Л U В, Л U В, ЛВ, АВ?
6. Пусть Л, Ву С — случайные события. Выяснить смысл равенств: а) АВС = Л; б) Л U В U С = Л.
7. Мощность состоит из 10 кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами г* (• = 1, 2,...ДО), причем n<r2<...<rio.
Событие Л| = {попадание в круг радиуса гД. Что означают события
12. В урне имеется 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар: а) белый; б) черный?
13. Из слова НАУГАД выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это буква А? Какова вероятность того, что это гласная?
14. Брошены три монеты. Найти вероятность того, что выпадут два игерба”.
15. Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадания номера 4 на верхней грани упавшей на стол кости? Какова вероятность выпадания номера, большего 4? (Игральная кость представляет собой кубик, грани которого отмечены номерами 1, 2, 3, 4, 5, б.)
16. При стрельбе была получена частость попадания 0,6. Сколько было сделано выстрелов, если получено 12 промахов?
17. Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпадания на двух костях в сумме не менее 9 очков? Какова вероятность выпадания единицы, по крайней мере на одной кости?
18. На шахматную доску из 64 клеток ставятся наудачу две ладьи белого и черного цвета. С какой вероятностью они не будут ”бить” друг друга?
19. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово ДВА?
20. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся черными?
21. Из последовательности чисел 1, 2,..., п наудачу выбираются два числа. Какова вероятность что одно из них меньше Jfc, а другое больше к, где 1<к<п — произвольное целое число?
22. Ребенок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки А, А, М, М. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слова МАМА?
23. При наборе телефонного номера абонент забыл две послед-ние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
24. А и В и еще 8 человек стоят в очереди. Определить вероятность того, что А и В отделены друг от друга тремя лицами.
25. В лотерее п билетов, из которых т выгрышных. Участник лотереи покупает к билетов. Определить вероятность того, что он выиграет хотя бы на один билет.
26. Среди 25 экзаменационных билетов 5 "хороших". Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятности следующих событий:
А = {первый студент взял хороший билет};
В = {второй студент взял хороший билет};
С = {оба студента взяли хорошие билеты}.
27. (Задача о выборке.) В партии из 50 изделий 5 бракованных. Из партии выбираются наугад 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.
28. (Распределение шаров по ящикам.) Имеется г шаров, которые случайным образом разбрасываются по п ящикам. В одном и том же же ящике могут находиться несколько шаров и даже все шары. Найти вероятность того, что в первый ящик попадут ровно г\ шаров, во второй — Г2 шаров и т.д., в п-й — гп шаров, п + ^2+ ••• + гп = г.
29. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.
30. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:
А = {все пассажиры выйдут на четвертом этаже};
В = {все пассажиры выйдут одновременно (на одном и том же этаже)};
С = {все пассажиры выйдут на разных этажах}.
31. В шкафу находится 10 пар ботинок различных сортов. Из них случайно выбирается 4 ботинка. Найти вероятность того, что среди выбранных ботинок отсутствуют парные.
32. Из всех возможных отображений множества {1, 2,...,п} в себя случайно выбирается одно отображение. Найти вероятности следующих событий:
Ю
А = {выбранное отображение каждый из п элементов переводит в 1};
В = {элемент i имеет ровно к прообразов};
С = {элемент г переводится в j};
D = {выбранное отображение элементы ц, (Kii<*2< •••
... Cifc^n) переводит в элементы j\> j2,-~,jk соответственно}.
33. (Вероятность распределения моле -к у л.) Газ, состоящий из п молекул, находится в замкнутом сосуде. Мысленно разделим сосуд на п равных клеток и будем считать, что вероятность каждой молекулы попасть в каждую из п клеток одна
и та же, а именно К Какова вероятность того, что молекулы окажутся распределенными так, что в 1-й клетке окажутся mi молекул, во 2-й — m2 молекул и т.д., наконец, в п-й — тп молекул?
34. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?
35. (Задача о встрече.) Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти в любое время?
7. Электрон вылетает из случайной точки нити накала и движется по перпендикуляру к нити. С какой вероятностью он свободно пройдет через сетку, окружающую нить и имеющую вид винтовой линии радиуса Я, толщины S и шага Ш
38. (Задача Бюффона, 1777 г.). На пол, разграфленный параллельными прямыми на полосы ширины X, бросается наугад игла длины / (1<Ь). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.
39. Стержень длины / сломали на три части, выбирая наудачу места разлома. Найти вероятность того, что из получившихся трех частей можно составить треугольник.
40. В квадрат с вершинами (0; 0), (0; 1), (Г, 0), (1; 1) наудачу брошена точка М. Пусть (£; rj) — ее координаты. Найти вероятность того, что корни уравнения г2 + £г+1? = 0— действительные.
41. Какой толщины должна быть монета, чтобы вероятность падения на ребро была 1/3?
42. Спутник Земли движется по орбите, которая заключена между 60° северной и 60° южной широты. Считая падение спутника в любую точку поверхности между указанными параллелями равновозможным, найти вероятность того, что спутник упадет выше 30° северной широты.
43. Слой воздуха толщины Я содержит пылинки радиуса г в ъоличестве А штук в одной кубической единице. Найти вероятность того, что луч света, перпендикулярный слою, не пересечет ни одной пылинки.
51. Бросили игральную кость. Какова вероятность того, что выпало простое число очков, если известно, что число выпавших очков нечетно?
52. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются два шара. Какова вероятность, что вынутые шары разного цвета, если известно, что не вынут синий шар?
53. Привести пример, показывающий, что из попарной независимости событий А у By С не следует их независимость в совокупности.
54. Вывести теоремы сложения и умножения вероятностей для любых трех событий Л, В, С.
55. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
56. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна 0,05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены?
57. Бросается монета до первого появления "герба". Описать пространство элементарных событий. Найти вероятность того, что потребуется четное число бросков.
58. Предположим, что для одной торпеды вероятность потопить корабль равна 1/2. Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль, если для потопления корабля достаточно одного попадания торпеды в цель?
59. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?
60. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.
61. Общество из п человек садится за круглый стол. Найти вероятность того, что два определенных лица окаЯсутся рядом.
62. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос?
63. В круг радиуса R вписан квадрат. Чему равна вероятность того, что поставленные наудачу внутри круга 2 точки окажутся внутри квадрата?
64. Две одинаковые монеты радиуса г расположены внутри круга радиуса Я, в который наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что эта точка упадет на одну из монет, если монеты не перекрываются.
65. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью, не меньшей: а) 0,5; б) 0,9 — хотя бы один раз выпала шестерка (шесть очков)?
66. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.
67. Два охотника стреляют в волка, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в цель 0,7, для второго — 0,8. Какова вероятность попадания в волка (хотя бы при одном выстреле)? Как изменится результат, если охотники сделают по два выстрела?
68. Вероятность попадания в цель первым стрелком р\> а вторым стрелком — р2» Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность того, что один из них попадет в цель, а другой не попадет?
75. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором — 1 белый и 4 черных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?
76. При помещении в урну тщательно перемешанных п шаров (ш белых и п-тп черных) один шар неизвестного цвета затерялся. Из оставшихся з урне п - 1 шаров наудачу вынимают один шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?
77. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки А, 6 марки В и 4 марки С. Вероятность того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равна 0,9; 0,8 и 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?
79. Имеются две урны: в первой 3 бФлых шара и 2 черных; во второй 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
80. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей, когда он тащит билет первым или последним?
81. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад вцбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.)
82. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго — 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.
8&. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25%, вторая — 35%, третья — 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.
а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?
б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?
84. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?
85. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): три партии из четырех или пять из восьми?
86. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий:
а) нет ни одного испорченного;
б) будут два испорченных.
87. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных?
88. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их количество равно 7.
89. Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который равна 0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.
90. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0,8. Сколько нужно призвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?
91. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?
92. Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки -
0,485. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек.
93. (3 а д € ч а Банаха.) Некий курящий математик носит с собой две коробки спичек. Каждый раз, когда он хочет достать спичку, он выбирает наугад одну из коробок. Найти вероятность тога, что когда математик вынет в первый раз пустую коробку, в другой коробке окажется г спичек (г = 0, 1, 2, ..., n; п - число спичек, бывших первоначально в каждой из коробок).
94. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.
95. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 дм3 воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.
96. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух пуль и более, если число выстрелов равно 5000.
97. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5 абонентов?
98. Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.
99. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 с испускало в среднем 3,87 а частицы. Найти вероятность того, что за 1 с это вещество испустит хотя бы одну се-частицу.
103. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных гербом вверх, будет от 45 до 55?
112. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули 1 шар. Случайная величина £ - число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения и функцию распределения F(x) величины £.
113. Бросают три монеты. Требуется: а) задать случайную величину £, равную числу выпавших "решеток"; б) построить ряд распределения и функцию распределения F(x) величины £, если вероятность выпадания "герба" равна 1/2.
114. Построить ряд распределения и функцию распределения числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания равна 0,4. л
115. Из партии в 25 изделий, Среди которых имеются 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения случайного числа ( бракованных изделий, содержащихся в выборке.
104. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что
из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?
105. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830.
1Q6. Вероятность появления успеха в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что частота появления успеха отклонится по абсолютной величине от его вероятности не более чем на 0,04.
107. Сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты, чтобы с вероятностью 0,92 можно было ожидать отклонение частоты выпадания игербаи от теоретической вероятности 0,5 на абсолютную величину* меньшую чем 0,01.
108. Вероятность появления успеха в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число £, что с вероятностью 0,9876 абсолютная величина отклонения частоты появления успеха от его вероятности 0,8 не превысит е.
109. Игральную кость бросают 80 раз. Найти приближенно границы, в которых число р выпаданий шестерки будет заключено с вероятностью 0,9973.
131. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины £ равны соответственно 2 и 10. Найти м.о. и дисперсию величины 2£ + 5.
132. Найти м.о. и дисперсию индикатора /д события А, вероятность которого равна р.
133. Найти среднее квадратичное отклонение случайной величины, заданной законом распределения
£ 3 5 7 9
Р 0,4 0,3 0,2 0,1
134. Число ончастиц, достигающих счетчика в некотором опыте, является случайной величиной £, распределенной по следующему закону:
*
0 1
2 3 4
5 6 7
8 9
10
р
0,021 0,081
0,156 0,201 0,195
0,151 0,097 0,054
0,026 0,011
0,007
Найти: а) м.о. и дисперсию числа частиц, достигающих счетчика; б) вероятность того, что число частиц, достигших счетчика, не меньше четырех.
140. Производятся 20 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления успеха равна 0,2. Найти дисперсию числа появления успеха в этих испытаниях.
141. При 10 000 бросаний монеты "герб" выпал 5400 раз. Следует ли считать, что монета несимметрична?
142. (Геометрическое распределени е.). Стрелок стреляет в цель до тех пор, пока не поразит ее. Вероятность попадания при отдельном выстреле равна р, результаты выстрелов можно считать независимыми. Найти м.о., дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа выстрелов.
146. Найти среднее значение и дисперсию произведения двух независимых случайных величин £ и i) с равномерными законами распределения: £ в интервале [0, 1], rj - в интервале [1, 3].
147. Ребро куба х измерено приближенно, причем а<а<(. Рассматривая длину ребра куба как случайную величину £, распределенную равномерно в интервале (а, 6), найти м.о. и дисперсию объема куба.
154. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических (одного знака) погрешностей. Случайные погрешности взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением а = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с погрешностью, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.
155. Случайная величина £ - ошибки измерений - распределена по нормальному закону. Найти вероятность того, что £ примет
значение между - За и 3<т, где а — \ D£ - среднее квадратичное отклонение величины £ (предполагается, что систематические погрешности отсутствуют).
156. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически; их средняя масса равна 1,06 кг. Найти стандартное отклонение, если 5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.
180. (Правило "трех сигм".) Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что любая случайная величина ( отклонится от своего математического ожидания менее чем на три средних квадратичных отклонения этой величины.
181. Длина изготовляемых изделий представляет случайную величину, среднее значение которой (математическое ожидание) равно 90 см. Дисперсия этой величины равна 0,0225. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что: а) отклонение длины изготовленного изделия от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4; б) длина изделия выразится числом, заключенным между 89,7 и 90,3 см.
182. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,05. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время t окажется меньше двух.
189. В учениях участвуют два корабля, которые одновременно производят выстрелы друг в друга через равные промежутки времени. При каждом обмене выстрелами корабль А поражает корабль В с вероятностью 1/2, а корабль В поражает корабль А с вероятностью 3/8. Предполагается, что при любом попадании корабль выходит из строя. Рассматриваются результаты серии выстрелов. Найти матрицу вероятностей перехода, если состояниями цепи являются комбинации кораблей, оставшихся в строю: Е\ - оба корабля в строю, Еъ - в строю корабль А, Е$ - в строю корабль В, Е\ - оба корабля поражены.
190. В двух отделениях ящика находятся три шара. Каждую секунду выбирается случайным образом один из трех шаров и перекладывается из одного отделения в другое. В качестве состояния марковской цепи рассматривается число шаров в первом отделении. Выписать матрицу перехода из состояния в состояние за один шаг.
197. Доказать, что если для цепи Маркова с матрицей вероятностей перехода [ру] в качестве вектора начальных вероятностей взять предельные вероятности (61? 62, ..., 6Г), то этот вектор не будет изменяться со временем.
198. В некоторой местности климат весьма изменчив. Здесь никогда не бывает двух ясных дней подряд. Бели сегодня ясно, то завтра с одинаковой вероятностью пойдет дождь или снег. Бели сегодня снег (или дождь), то с вероятностью 1/2 погода не изменится. Бели все же она изменится, то в половине случаев снег заменяется дождем или наоборот и лишь в половине случаев на следующий день будет ясная погода.
Требуется:
а) принимая в качестве состояний цепи различные виды погоды Д, Я, С, выписать матрицу Р вероятностей перехода;
б) построить граф, соответствующий матрице Р;
в) определить вероятность хорошей погоды через три дня после дождя;
г) найти предельные вероятности.
218. В течение продолжительного срока при анализе данного материала на содержание железа установлено стандартное отклонение 0,12%. Найти с доверительной вероятностью 0,95 доверительный интервал для истинного содержания железа в образце, если по результатам 6 анализов среднее содержание железа составило 32, 56%.
219. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы из выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с доверительной вероятностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратичное отклонение продолжительности горения лампы 5 = 40 ч.
220. Станок-автомат штампует валики. По выборке объема п = = 100 вычислено выборочное среднее диаметров изготовленных валиков. Найти с доверительной вероятностью 0,95 точность, с которой выборочное среднее оценивает м.о. диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратичное отклонение 5 = 2 мм.
221. Произведено пять независимых измерений толщины пластины. Получены следующие результаты: 2,15; 2,18; 2,14; 2,16; 2,17. Оценить истинное значение толщины пластины с помощью доверительного интервала с доверительной вероятностью 1 - а = 0,95.
236. Три дороги соединяют города А и В, две дороги соединяют города В и С. Сколькими способами можно совершить поездку из А в С через В?
237. (Размещение различимых шаров по ящикам.) Сколькими способами можно разместить г различимых шаров по п ящикам?
238. Учащемуся необходимо сдать три экзамена на протяжении семи дней. Сколькими способами это можно сделать, если известно, что последний экзамен будет сдаваться на седьмой день? Предполагается, что в один день сдается не более одного экзамена.
239. Сколько разных комбинаций (слов) можно образовать из всех букв слова гипербола? Сколько среди них таких, в которых буквы Г и И стоят рядом? В каких словах эти буквы не стоят рядом?
Замечание. Под "словом" здесь понимается любое размещение из букв. Такое "слово" не обязательно является словом какого-либо языка.
240. Номер автомобиля состоит из двух букв, за которыми следует трехзначное число. Сколько существует таких автомобильных номеров?
241. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем были 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами можно составить такой букет?
242. Сколько подмножеств имеет множество из п элементов (включая пустое подмножество и само данное множество)?
243. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
244. (Размещение неразличимых шаров по
ящикам). Доказать, что всего существует различных
способов размещения г неразличимых шаров по п-ящикам.
245. Пусть / (xi, Х2, ..., хп) - аналитическая функция п переменных. Сколько у нее существует различных производных г-го порядка?
58
246. Чему равно число результатов совместного бросания п неразличимых игральных костей и г*2 неразличимых монет?
247. В урне m белых и п-т черных шаров. Из урны зынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары разных цветов.
248. Игральную кость бросают три раза. Какова вероятность того, что все выпавшие грани окажутся различными?
249. Бросается монета 6 раз подряд. Найти вероятность того, что четыре раза выпадает "герб11 и два раза - "решетка".
250. Некто купил карточку Спортлото и отметил в ней 6 из имеющихся 49 номеров, после чего в тираже разыгрывается 6 "выигравших" номеров из 49. Найти вероятности следующих событий:
= {верно угаданы 3 выигравших номера из 6},
А6 = {верно угаданы все 6 номеров}.
251. Ребенок играет с 10 буквами разрезной азбуки А, А, А, Б, И, К, М, М, Т, Т. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово МАТЕМАТИ -К А?
252. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Как велика вероятность того, что в нем: а) все цифры различные? б) все цифры нечетные?
253. Группа, состоящая из 2 п мальчиков и 2 п девочек, делится случайным образом на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части число мальчиков и девочек одинаково. Вычислить эту вероятность, используя формулу Стирлинга.
254. г элементарных частиц регистрируются п счетчиками, причем каждая из частиц может с одинаковой вероятностью попасть в любой из счетчиков. Найти вероятность того, что все частицы разместятся по одной в этих счетчиках (Кп).
255. На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса г<а. Какова вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых?
256. Два корабля должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих кораблей независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из кораблей придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого корабля один час, а второго - два часа.
257. Однородный прямой круговой конус с высотой А и радиусом основания г случайно бросается на горизонтальную плоскость. Найти вероятность того, что конус упадет на основание.
258. В семье двое детей. Какова вероятность того, что оба ребенка мальчики в предположении, что : а) старший ребенок - мальчик; 6) по крайней мере один из детей - мальчик?
261. Доказать, что для любых событий А и В P(AUB) = P(i4) + Р(В) - Р(АВ).
262. Монету бросают до тех пор, пока не появится подряд два "герба" или две "решетки". Найти вероятность события i4 = {понадобится не более трех бросаний}.
263. В урне т белых и п - т черных шаров. Из урны вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну. После этого из урны берется еще одни шар. Найти вероятность того, что оба вынутых шара будут разных цветов.
264. В урне два белых и три черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по одному шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.
265. Пусть п человек, в том числе i4 и В, располагаются в ряд в случайном порядке. Найти вероятность того, что между А и В будут стоять ровно г человек.
266. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания fe нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность событий:
i4 = {охотник промахнулся все три раза};
В = {попадает хотя бы один раз};
С = {попадает два раза}.
267. Три письма раскладываются случайно по трем конвертам с адресами. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет в свой конверт.
268. Выбирают наудачу один член разложения определителя tiro порядка. Какова вероятность Рп того, что он не содержит элементов главной диагонали?
269. Доказать формулу
P(AUB\C) = Р(А\С) + Р(В\С) - Р(АВ\С).
270. Доказать: а) формулу полной вероятности, б) формулу Байеса.
60
271. В первой урне содержится а белых шаров и Ь черных; во второй - с белых и d черных. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу берут один. Какова вероятность того, что этот шар белый?
272. Имеется п урн, в каждой из которых а белых шаров и 6 черных. Из первой урны во вторую перекладывают один шар, затем из второй в третью один шар и т.д. Затем из последней урны извлекают один шар. Найти вероятность того, что он белый.
273. Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объем продукции второго завода в к раз превосходит объем продукции первого. Доля брака у 1-го завода р\9 у 2-го - рг* Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и пустили в продажу. Какова вероятность того, что некто приобрел изделие 2-го завода, если оно оказалось бракованным?
276. Бросаются 12 игральных костей. Найти вероятность того, что каждая грань выпадет два раза.
277. На отрезок [0, 10] наудачу брошено 5 точек. Найти вероятность того, что две точки попадут в [0, 2], одна - в [2, 3], две - в [3, 10].
278. Игральная кость бросается 6 раз. Найти вероятность того, что на верхней грани три раза появится четное число, два раза -число 5, один раз - 1 или 3.
279. В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что из 10 точек, брошенных наудачу независимо одна от другой внутрь круга, четыре попадут в квадрат, три - в один сегмент, по одной - в оставшиеся три сегмента?
280. В урне имеется 3 шара: черный, красный и белый. Из урны вынимаются 5 раз по одному шару, причем вынутый шар каждый раз возвращается обратно и шары перемешиваются. Найти вероят-
61
ность того, что среди вынутых шаров черный и белый шары встречаются не менее чем по два раза каждый.
281. Рабочий производит с вероятностью 0,9 годное изделие, с вероятностью 0,09 - изделие с устранимым браком, с вероятностью 0,01 - с неустранимым браком. Произведено три изделия. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно годное изделие и хотя бы одно с устранимым браком.
282. Последовательность исходов полиномиальной схемы с п = = 10, в каждом испытании которой каждый из исходов 0, 1, 2, ..., 9 появляется с вероятностью 1/10, называют случайными числами. Найти вероятность того, что среди 10 однозначных случайных чисел ровно 4 четных числа и 2 нечетных числа, кратных 3.
283. В партии из п = 22 500 изделий каждое изделие независимо от других может быть бракованным с вероятностью р = 1/5. Найти вероятность того, что число р бракованных изделий заключено между 4380 и 4560.
284. Монета брошена 2 п раз (п велико). Найти вероятность того, что 11 герб" выпадет ровно п раз.
285. Натуральный логарифм некоторой случайной величины £ распределен по нормальному закону с математическим ожиданием а и средним квадратичным отклонением а. Найти плотность распределения величины £.
298. Пусть ( - 0,8; 2,8; 4,4; - 5,6; 1,1; - 3,2) - наблюдавшиеся значения случайной величины £. Построить эмпирическую функцию распределения Fq(x) и проверить, что F6(” 5) =1/6; F6(0) =1/2; ,Гб(4)= 5/6. Вычислить выборочные среднее и дисперсию.
299. На экзамене по данному предмету экзаменатор задает студенту только один вопрос по одной из четырех частей курса. Из 100 студентов 26 получили вопрос по первой части, 32 - по второй, 17 - по третьей, остальные - по четвертой. Можно ли по этим результатам принять гипотезу, что для пришедшего на экзамен имеется одинаковая вероятность получить вопрос по любой из четырех частей? (Принять а= 0,05.)