Задания для работы в аудитории
Задание 1. Из 15 кандидатов на одну и ту же должность должно быть выбрано 5. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?
Задание 2. Сколькими способами можно избрать из 10 человек делегацию
в составе трех человек?
Задание 3. Сколькими способами можно из шести коммерческих банков
выбрать два для размещения в них денежных вкладов?
Задание 4. В программе к экзамену содержится 30 вопросов, студент выучил 20. Сколькими способами можно составить экзаменационный билет из 5
вопросов так, чтобы студент ответил на все вопросы?
Задание 5. Сколькими способами можно создать очередь в кассу из пяти
покупателей?
Задание 6. Сколькими способами на книжной полке можно расставить 7
учебников?
Задание 7. Сколькими способами можно рассадить четырех студентов на
30 местах?
Задание 8. Студенты 1-го курса изучают 12 дисциплин. В расписание занятий каждый день включается по 3 предмета. Сколькими способами может
быть составлено расписание занятий на каждый день?
Задание 9. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из девяти значащих цифр, из которых ни одна не повторяется?
Задание 10. Сколькими способами группа из 30 студентов может выбрать
старосту и его заместителя?
Задание 11. Семь пассажиров садятся в электропоезд, состоящий из 10 вагонов. Определить число всех возможных вариантов размещения пассажиров в
поезде.
Задание 12. Сколько различных четырехзначных чисел может быть составлено из девяти значащих цифр?
Задание 13. Сколькими способами можно разместить пять шаров в пяти
ящиках?
Задание 14. Сколькими способами можно подбросить три игральные кости?
Задание 15. В урне лежат 4 белых и 9 черных шаров. Сколькими способами можно достать шесть шаров так, чтобы среди них было 2 белых и 4 черных?
7
Задание 16. Сколькими способами можно выбрать два карандаша и три
ручки из пяти различных карандашей и шести различных ручек?
Задание 17. Сколькими способами можно упорядочить множество
1, 2,..., 20 так, чтобы каждое четное число имело четный номер?
Задание 18. Сколькими способами можно 15 человек расставить в ряд так,
чтобы лица A и B не стояли рядом?
Задание 19. Имеется 7 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами
можно расположить в ряд все шары так, чтобы никакие два черных шара не
лежали рядом?
Задание 20. Сколькими способами из 10 пар ботинок можно выбрать шесть
ботинок так, чтобы среди них была ровно одна пара ботинок?
Задание 21. Сколькими способами можно выставить на игру футбольную
команду, состоящую из трех нападающих, трех полузащитников, четырех защитников и вратаря, если всего в команде шесть нападающих, три полузащитника, шесть защитников и один вратарь?
Задание 22. При встрече 12 человек обменялись рукопожатиями. Сколько
рукопожатий было сделано при этом?
Задание 23. В шахматном турнире участвовало 14 шахматистов, каждый
изних сыграл с различными партнерами по одной партии. Сколько всего сыграно партий?
Задание 24. Сколько различных слов, получающихся перестановкой букв в
слове «математика», можно получить?
Задание 25. Сколькими способами 12 предметов можно разделить между
тремя людьми так, чтобы каждый получил по четыре предмета?
Задание 26. Сколькими способами можно распределить 15 книг между четырьмя студентами так, чтобы первый получил 3 книги, второй – четыре, третий – 2, четвертый – 6?
Задание 27. В лифте, который останавливается на 10 этажах, едут 7 пассажиров. Сколько существует способов двум пассажирам выйти на одном этаже,
трем пассажирам выйти на другом этаже и двум пассажирам выйти на третьем
этаже, отличном от первых двух?
Задание 28. Сколькими способами 5 шаров можно разместить в пяти ящиках так, чтобы ровно один ящик оказался пустым?
Задание 29. 52 карты раздаются поровну четырем игрокам. Сколькими
способами можно раздать карты так, чтобы соответственно у 1-го игрока было
четыре карты масти «пики», у 2-го – три, у 3-го – одна, у 4-го – пять?
Задание 30. Сколькими способами группу из четырех мужчин и восьми
женщин можно разбить на подгруппы по три человека в каждой так, что в каждой из них будет ровно один мужчина?
Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Сколько перестановок можно сделать из букв слова «ракета»
так, чтобы все они начинались с буквы «р»?
8
Задание 2. На шахматном турнире было сыграно 45 партий, причем каждый шахматист сыграл с остальными по одной партии. Сколько шахматистов
участвовало в турнире?
Задание 3. Сколько различных шестизначных номеров автомобиля в большом городе, начинающихся с единицы, можно составить?
Задание 4. Сколькими способами можно рассадить 30 студентов в аудитории, вмещающей 35 человек?
Задание 5. Сколькими способами можно разложить 36 карт в ряд так, чтобы места расположения тузов образовывали арифметическую прогрессию,
разность которой равна 7.
Задание 6. Имеется 5 билетов стоимостью 1 евро, 3 билета по 5 евро и 2
билета по 10 евро. Сколькими способами можно выбрать три билета общей
стоимостью 15 евро?
Задание 7. Сколькими способами из колоды, содержащей 52 карты, можно
вытянуть 13 карт так, чтобы среди них не содержалось ни одной пары «тузкороль» одной масти?
Задание 8. В гардероб сданы четыре шляпы. Сколькими способами гардеробщик может выдать четыре шляпы четырем посетителям так, чтобы только
два посетителя получили свои шляпы?
Задание 1. В магазин поступило 30 новых цветных телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Наудачу отбирается один телевизор для
проверки. Какова вероятность того, что он не имеет скрытых дефектов?
Задание 2. Ревизору нужно за определенный период времени проверить
100 предприятий. Известно, что одно из предприятий составляет неправильные бухгалтерские отчетности, имеет скрытые доходы. За первый квартал ревизор осуществил проверку на 10 предприятиях. Найти вероятность того, что
среди 10 проверенных предприятий окажется предприятие, которое ведет неправильные бухгалтерские отчетности, имеет скрытые доходы.
Задание 3. Из 12 лотерейных билетов, содержащих 4 выигрышных, наугад
берут 6. Какова вероятность того, что среди них ровно 2 выигрышных?
Задание 4. Библиотечка состоит из 10 книг: 5 книг ценой 20 рублей за 1
книгу, 3 книги по 10 рублей и 2 книги по 30 рублей. Найти вероятность того,
что совокупная цена трех наугад взятых книг равна 60 рублям.
Задание 5. В группе 15 студентов, среди которых 4 получают повышенную
стипендию. По списку наугад отобрано 6 человек. Найти вероятность того, что
трое среди них получают повышенную стипендию.
Задание 6. Из колоды в 52 карты наудачу достают 6 карт. Найти вероятность того, что среди этих карт будут карты всех мастей.
Задание 7. Пусть в одном из рядов кинотеатра 10 мест. 10 зрителей случайным образом покупают10 билетов на этот ряд. Какова вероятность того,
что два определенных лица сядут рядом? Найти соответствующую вероятность, если 10 человек будут занимать места за десятиместным круглым
столом.
Задание 8. В коробке находится 5 одинаковых карточек, на каждой из которых записана одна из букв О, П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на вынутых наугад и расположенных в ряд карточках можно будет прочитать слово
СПОРТ.
Задание 9. В коробке находится 6 одинаковых карточек, на каждой из которых записана одна из букв А, М, О, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на
вынутых наугад и расположенных в ряд четырех карточках можно будет прочитать слово СОРТ.
Задание 10. Кодовый замок открывается кодом, состоящим из 6 цифр.
Найти вероятность того, что случайно набранный код откроет этот замок.
Задание 11. Найти вероятность того, что при случайном расположении 52
карт в ряд никакие два туза не будут находиться рядом.
Задание 12. В 5 ящиках размещают 5 шаров так, что для каждого шара
равновозможно попадание в любой ящик. Найти вероятность следующих событий: а) ни один ящик не останется пустым, б) ровно один ящик окажется
пустым.
Задание 13. Найти вероятность того, что дни рождения 6 человек придутся
ровно на два месяца.
11
Задание 14. (Парадокс де Мере). Пусть А – случайное событие, состоящее
в том, что при четырех бросаниях игральной кости хотя бы один раз выпадет
шесть очков; В – случайное событие, состоящее в том, что при двадцати четырех бросаниях двух игральных костей хотя бы раз одновременно выпадут две
шестерки. Какое из случайных событий А и В является более вероятным?
Задание 15. Каждый из 50 штатов представлен двумя сенаторами. Найти
вероятность того, что в комитете из 50 случайно выбранных сенаторов представлен данный штат.
Задание 16. Студент знает 14 вопросов из 20. В билете содержатся 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит хотя бы на один из них.
Задание 17. Десять рукописей разложены по 30 папкам (на одну рукопись
три папки). Найти вероятность того, что в случайно выбранных шести папках
не содержится целиком ни одной рукописи.
Задание 18. Колода из 52 карт раздается поровну четырем игрокам. Какова
вероятность того, что у каждого из игроков окажется по одному тузу?
Задание 19. Семь пассажиров поднимаются на лифте, который останавливается на 10 этажах. Какова вероятность того, что три пассажира выйдут на
одном, два пассажира выйдут на другом и два пассажира – на третьем этаже?
Задание 20. За круглый стол рассаживаются в случайном порядке 20 гостей. Какова вероятность того, что гостей можно разбить на 10 непересекающихся пар так, чтобы любая пара состояла из сидящих рядом мужчины и
женщины?
Задание 21. В лотерее n билетов, из которых m выигрышных. Какова вероятность выигрыша для того, кто имеет k билетов?
Задание 22. Из колоды, содержащей 52 карты, извлекаются 13 карт. Найти
вероятность того, что среди них содержится ровно k k( 0,1, 2,3, 4) пар «тузкороль» одной масти.
Задание 1. Программа вопросов к экзамену содержит 40 вопросов. Студент
выучил ответы на 20 вопросов. Какова вероятность того, что вытащив билет,
содержащий 5 вопросов, он правильно ответит на 2 вопроса?
Задание 2. В урне 10 красных и 5 синих шаров. Найти вероятность того,
что из 6 взятых наугад шаров половина красных.
Задание 3. В шахматном турнире участвуют 18 человек, которых по жребию распределяют в группы по 9 человек. Найти вероятность того, что два
наиболее сильных шахматиста будут играть в разных командах.
Задание 4. Для проверки шести магазинов случайным образом распределяют трех ревизоров. Найти вероятность того, что каждый ревизор будет проверять два магазина.
Задание 5. Подбросили две игральные кости. Найти вероятность того, что
сумма очков – четное число.
12
Задание 6. Шеститомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Найти вероятность того, что первый и второй тома будут стоять рядом в указанном порядке.
Задание 7. Какова вероятность того, что четырехзначный номер случайно
взятого автомобиля в большом городе имеет только две одинаковые цифры?
Задание 8. Колода из 36 карт хорошо перемешана (т. е. все возможные
расположения карт равновероятны). Найти вероятность случайного события,
состоящего в том, что места расположения тузов образуют арифметическую
прогрессию с разностью, равной 7.
Задание 9. Из колоды, состоящей из 52 карт, наудачу вынимаются три карты. Какова вероятность того, что среди них есть хотя бы один туз?
Задание 10. В аудитории находится 30 студентов. Пусть день рождения
каждого из них приходится на один из 365 дней года. Найти вероятность того,
что найдутся хотя бы два студента, дни рождения которых совпадают.
Задание 1. (Задача о встрече). Парень с девушкой договорились встретиться в промежутке времени между 12.00 и 13.00. Момент прихода каждого
из них на место встречи в течение этого промежутка времени случаен и равновозможен. Парень может ждать девушку не более 15 минут, а девушка
парня – не более 5 минут. Найти вероятность того, что встреча в условленном
месте состоится.
Задание 2. (Задача Бюффона). Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу бросается игла длиной 2 ( ). ll a Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.
Задание 3.(Парадокс Бертрана).
3.1. В круге радиуса R случайно проводится хорда. Найти вероятность
того, что длина этой хорды больше длины стороны правильного треугольника, вписанного в круг, если середина хорды равномерно распределена
в круге.
3.2. В круге радиуса R случайно проводится хорда. Найти вероятность того, что длина этой хорды больше длины стороны правильного треугольника,
вписанной в круг, если середина хорды равномерно распределена на диаметре,
перпендикулярном хорде.
3.3. В круге радиуса R случайно проводится хорда. Найти вероятность того, что длина этой хорды больше длины стороны правильного треугольника,
вписанного в круг, если один конец хорды жестко закреплен на окружности, а
другой распределен на ней равномерно.
Задание 1. Внутрь круга радиуса R случайным образом ставится точка.
Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в этот круг
квадрата.
Задание 2. На отрезок ОА длиной l наугад ставится точка В. Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ, ВА имеет длину, меньшую, чем l 3.
Задание 1. В городе работает 3 коммерческих банка. Вероятность того, что
в течение года обанкротится первый банк, равна 0,2; второй банк обанкротится
с вероятностью 0,1, а третий – с вероятностью 0,3 (банкротство любого из этих
банков никак не влияет на возможность банкротства остальных банков). Найти
вероятности следующих событий: а) обанкротится только один из трех банков;
б) обанкротится хотя бы один банк; в) обанкротится не более одного банка;
г) обанкротится только первый банк; д) обанкротятся только два банка; е)
обанкротятся хотя бы два банка.
Задание 2. Монета бросается до тех пор, пока она два раза подряд не выпадает одной и той же стороной. Найти вероятности следующих событий: а)
опыт окончится до шестого бросания; б) потребуется четное количество бросаний.
Задание 3. Вероятность того, что студент купит книгу по экономике в магазине, равна 0,2, а вероятность того, что он купит книгу по английскому языку на книжной ярмарке, равна 0,35. Предполагая, что оба события независимы,
найти вероятность того, что он купит хотя бы одну книгу.
Задание 4. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 наугад выбирается одна, а затем из оставшихся четырех – еще одна. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) только в первый раз; в) во второй раз; г) только
во второй раз; д) в оба раза.
Задание 5. Три команды 123 A , , A A спортивного общества A состязаются соответственно с тремя командами 123 BBB , , спортивного общества B. Вероятность того, что команды общества A выиграют матчи у команд общества B ,
таковы: при встрече A1 с B1 – 0,8; A2 с B2 – 0,4; A3 с B3 – 0,4. Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех. Победа какого из обществ вероятнее?
Задание 1. Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность одновременного выпадения «орла» и шести очков.
Задание 2. Вероятность попадания первым стрелком в цель при одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком – 0,6. Найти вероятность попадания
в цель: а) только одним стрелком; б) хотя бы одним стрелком; в) первым
стрелком; г) только первым стрелком.
Задание 3. Некий гражданин, располагая суммой 3000 у. е., решил вложить
по одной тысяче в каждый из трех банков под 12 % годовых на семь лет. Вероятность банкротства любого из этих банков в течение срока хранения вклада
равна 0,1. Какова вероятность того, что по истечении семи лет гражданин получит обратно, по меньшей мере, вложенную сумму 3000 у. е.?
Задание 1. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность сдачи норматива лыжником равна 0,9, велосипедистом – 0,8,
бегуном – 0,7. Найти вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен
сдаст норматив.
Задание 2. В первой бригаде 8 рабочих имеют первый разряд и 6 рабочих –
второй разряд. Во второй бригаде 5 рабочих имеют первый разряд и 5 рабочих – второй разряд. Из первой бригады во вторую переведены двое рабочих.
Найти вероятность того, что двое рабочих, наугад взятых из нового состава
второй бригады, имеют первый разряд.
Задание 3. Надежность автомобиля, собранного из высококачественных
деталей, равна 0,95. Если автомобиль собирают из деталей серийного производства, его надежность равна 0,6. Высококачественные детали составляют
30 % общего числа деталей. Найти: а) вероятность того, что наугад взятый ав17
томобиль безотказно проработает в течение указанного времени; б) вероятность того, что автомобиль собран из высококачественных деталей, если он
безотказно проработал в течение указанного времени.
Задание 4. В первом ящике находится 12 деталей, из них 2 бракованных,
а во втором – 10 деталей, из них 1 бракованная. Из первого ящика во второй
случайным образом переложена одна деталь, затем из второго ящика наугад
взята одна деталь. Найти вероятность того, что взятая из второго ящика деталь
бракованная.
Задание 5. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса четыре, из второй – шесть, из
третьей – пять студентов. Вероятности того, что студент первой, второй,
третьей группы в результате этих соревнований попадет в сборную института, равны соответственно 0,9, 0,7, 0,8. Наудачу выбранный студент в результате соревнований попал в сборную. Какой из групп вероятнее всего принадлежит студент?
Задание 6. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предложена упрощенная система проверки детали
на стандартность, дающая положительный результат (деталь признается стандартной) с вероятностью 0,98 для стандартной детали и с вероятностью 0,05
для нестандартной. Найти вероятность того, что признанная в результате проверки стандартной деталь действительно стандартна.
Задание 7. Компания, занимающаяся страхованием рисков, связанных с автомобильными авариями, разделяет водителей в зависимости от квалификации
и стажа на три группы А, В и С, составляющие соответственно 25 %, 35 %,
40 %. Вероятность наступления страхового случая по группам составляет соответственно 0,05, 0,04 и 0,02. Какова вероятность того, что случайно взятый
страховой случай относится к группе А?
Задание 8. Клиенты, с которыми работает банк, делятся на две группы в
отношении 1:5. Вероятность просрочки платежа клиентами первой группы
равна 0,6, второй – 0,06. Найти вероятность того, что произвольный клиент,
просрочивший первый платеж, просрочит также и второй. Предполагается, что
клиент, просрочивший платеж, остается в той же группе.
Задание 9. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае
вероятность вытащить неизвестный билет для студента меньше: когда он берет билет первым или последним?
Задание 1. Фирма совершает сделки, 80 % из которых прибыльные,
а 20 % – неприбыльные. Вероятность банкротства фирмы за время t в случае,
когда она заключает прибыльные сделки, равна 0,01, а в случае заключения
неприбыльных сделок равна 0,7. Определить вероятность банкротства фирмы
за время t.
18
Задание 2. Имеются три одинаковые урны, в первой из которых пять зеленых и три синих шара, во второй – два зеленых и четыре синих шара, в третьей
один зеленый и три синих шара. а) Найти вероятность того, что шар, взятый из
наугад выбранной урны будет зеленым; б) Наугад взятый шар оказался зеленым. Найти вероятность того, что он из первой урны.
Задание 3. Два предпринимателя занимаются реализацией одинаковой
продукции, которая поставляется ими в один и тот же магазин. Первый предприниматель поставляет продукции в 2 раза больше, чем второй, причем продукция высшего качества у него составляет 60 %, а у второго – 80 %. Случайный покупатель покупает продукцию высшего качества. Какова вероятность
того, что она поставлена первым предпринимателем?
Задание 4. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из
трех касс вокзала А или в одну из пяти касс вокзала В. Вероятность того, что
к моменту прихода пассажира в кассах вокзала А имеются в продаже билеты,
равна 0,6, в кассах вокзала В – 0,5. 1.) Найти вероятность того, что в наугад
выбранной кассе имеется в продаже билет; 2.) Пассажир купил билет. В кассе
какого вокзала он вероятнее всего куплен?
Задание 5. В первом ящике находится 20 деталей, из них 15 стандартных,
во втором – 30 деталей, из них 24 стандартных, а в третьем – 10 деталей, из
них 6 стандартных. Найти вероятность следующих событий: а) наудачу выбранная из наугад взятого ящика деталь является бракованной; б) после того,
как все детали ссыпаны в один ящик, наудачу выбранная деталь является бракованной.
Задание 1. Банк выдал 48 кредитов независимым заемщикам. Вероятность
того, что деньги будут возвращены точно в срок, для каждого заемщика равна
0,9. Каково наивероятнейшее число просроченных кредитов?
Задание 2. Вероятность того, что денежный приемник автомата при опускании монеты сработает правильно, равна 0,97. Сколько нужно опустить монет,
чтобы наиболее вероятное число правильных срабатываний было равно 100?
Задание 3. Контрольная работа состоит из пяти вопросов. На каждый вопрос
предлагается четыре варианта ответа, из которых только один правильный.
Студент не готов к контрольной и поэтому выбирает ответы наугад. Какова вероятность того, что он правильно ответит на k вопросов (k =0; 1; 2; 3; 4; 5)?
Задание 4. Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность
того, что каждому из этих покупателей потребуется телевизор фирмы «Филлипс», равна 0,4. Найти вероятности следующих событий: а) телевизор фирмы
«Филлипс» потребуется всем четырем покупателям, б) телевизор фирмы
«Филлипс» потребуется не менее, чем двум покупателям, в) телевизор фирмы
«Филлипс» потребуется не более, чем трем покупателям.
Задание 5. Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле
равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы мишень была
поражена с вероятностью 0,8?
20
Задание 6. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз в
двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события А в одном испытании.
Задание 7. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при двух выстрелах равна 0,91. Найти вероятности следующих событий: а) трех попаданий при
шести выстрелах, б) не менее двух попаданий при четырех выстрелах.
Задание 8. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия
равна 0,9. Вероятность поражения цели при k попаданиях равна1 0,1 .k Произведено два выстрела. Найти вероятность поражения цели.
Задание 9. Для поиска месторождения нефти на заданной территории организовано 10 геологоразведывательных партий, каждая из которых независимо от других обнаруживает залежь при ее наличии с вероятностью 0,7. После
обработки и анализа сейсмографических записей вся территория была поделена на два района. В первом районе нефть может залегать с вероятностью 0,55,
а во втором с вероятностью 0,45. Как следует распределить 10 геологоразведывательных партий по двум районам, чтобы вероятность обнаружения нефти
была максимальной?
Задание 1. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он
в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный
момент: а) включены 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все
моторы.
Задание 2. Производится 4 независимых испытания, в каждом из которых
событие А может произойти с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что в
этих испытаниях событие А произойдет: а) ровно 3 раза; б) хотя бы 3 раза;
в) более трех раз; г) менее трех раз.
Задание 3. Событие В появится, если событие А произойдет хотя бы 2 раза,
и не появится в противном случае. Найти вероятность наступления события В,
если произведено 5 независимых испытаний, в каждом из которых событие А
может появиться с одной и той же вероятностью 0,4.
Задание 4. Событие В может появиться, если событие А произойдет хотя
бы 3 раза, причем вероятность появления события В при k появлениях события А, равна 3 kk k k ( 1)( 2) / ( 1) . Найти вероятность наступления события В,
если произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых событие А
может появиться с одной и той же вероятностью 0,8.
Задание 5. Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью не меньшей чем 0,5 хотя бы один раз появилась сумма очков, равная 12?
Задание 6. Вероятность того, что пассажир опоздает к поезду, равна 0,01.
Найти наивероятнейшее число пассажиров, опоздавших на поезд из 500 человек и вероятность этого числа
Задание 1. В банк поступила тысяча стодолларовых купюр. Какова вероятность того, что среди этих купюр окажется 5 фальшивых, если 0,1 % купюр
фальшивые?
Задание 2. Магазин получил 900 бутылок минеральной воды. Вероятность
того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти веро22
ятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) хотя бы одну; б) менее двух; в) ровно две; г) более двух.
Задание 3. При наборе слова оператор делает ошибку с вероятностью
0,002. Какова вероятность того, что в набранной статье, состоящей из 3000
слов, будет не более 4 ошибок?
Задание 4. Сборник задач содержит 350 задач с ответами. В каждом ответе
может быть ошибка с вероятностью 0,01. Какова вероятность того, что ответы
в четырех задачах даны с ошибками?
Задание 5. Вероятность того, что автомобиль, сошедший с конвейера, не
будет иметь мелких неполадок, равна 0,9. Какова вероятность того, что из
600 сошедших с конвейера автомобилей 550 не будут иметь мелких неполадок?
Задание 6. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из ста покупателей обувь 41-го
размера потребуется а) 25 покупателям; б) не более 30 покупателям.
Задание 7. Вероятность банкротства отдельной фирмы равна 0,75. Найти
вероятность того, что из 200 фирм обанкротятся не менее 140 и не более 180
фирм.
Задание 8. Производится 500 бросаний симметричной монеты. В каких
пределах будет с вероятностью 0,99 находиться отклонение частоты выпадений герба от теоретической вероятности p 0,5 ?
Задание 9. На симпозиум приглашены 75 человек, причем каждый из них
прибывает с вероятностью 0,8. В гостинице для гостей заказано 65 мест. Какова вероятность того, что все приезжающие будут поселены в гостинице?
Задание 10. Сколько нужно произвести бросаний симметричной монеты,
чтобы с вероятностью 0,9 отклонение частоты выпадения герба отличалось от
0,5 не более, чем на 0,01?
Задание 11. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два различных входа. Около каждого из входов имеется свой гардероб. Сколько мест должно
быть в каждом из гардеробов для того, чтобы в 99 случаях из 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли (рассмотреть два случая: а) зрители приходят парами; б) зрители приходят по
одиночке)? Предположить, что входы зрители выбирают с равными вероятностями.
Задание 12. Появление тайфуна в Мексиканском заливе ожидается каждый
день с вероятностью 0,1. Сколько раз можно ожидать появление тайфуна в
июне с вероятностью 0,2?
Задание 1. Вероятность поражения стрелком мишени при одном выстреле
равна 0,7. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) ровно 50 раз; б) не более 75 раз; в) не менее 60 раз; г) не менее 65 и не
более 80 раз.
23
Задание 2. Перевозится партия в 1000 ламп. Для каждой лампы вероятность того, что она будет разбита при перевозке, равна 0,002. Найти вероятность того, что при перевозке будет разбито: а) ровно 5 ламп; б) не менее 4
ламп; в) не более 3 ламп; г) не менее 1 и не более 6 ламп; д) не менее 250 ламп;
е) не более 100 ламп; ж) не менее 20 и не более 50 ламп.
Задание 3. Производится 400 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,3. Найти вероятность того, что
событие А в этих испытаниях произойдет: а) ровно 110 раз; б) не более 140
раз; в) не менее 105 раз; г) не менее 115 и не более 130 раз.
Задание 4. Сколько нужно произвести бросаний симметричной монеты,
чтобы с вероятностью 0,99 отклонение частоты выпадения герба отличалось от
Задание 5. 100 фирм одной отрасли работают независимо друг от друга.
Известно, что каждая фирма обеспечена работой в течение месяца с вероятностью 0,8. Определить вероятность того, что в течение месяца будут работать
от 70 до 86 фирм.
Задание 1. Имеются три банка, обещающие своим вкладчикам доход 30 %
годовых. Вероятность разорения такого банка в течение года равна 0,5. ДСВ X
характеризует число разорившихся банков в течение года среди упомянутых
трех банков. Составить закон распределения ДСВ X найти ее математическое
ожидание и дисперсию.
Задание 2. Банк выдал 5 кредитов, оценив вероятность невозврата денег в
0,1 для каждого из пяти заемщиков. Пусть X – ДСВ, характеризующая количество заемщиков, не вернувших денег по истечении установленного срока. Необходимо составить закон распределения ДСВ X, найти ее математическое
ожидание и среднее квадратическое отклонение, считая получение кредита
каждым заемщиком, независимым друг от друга.
Задание 3. Банк выдал 10 кредитов независимым заемщикам по X ден. ед.
каждому на одинаковый срок. В конце срока каждый заемщик либо с вероятностью 0,9 возвращает банку 1,3 X ден. ед., либо разоряется с вероятностью
0,1 и не возвращает ничего. Какова вероятность того, что банк будет иметь
прибыль?
34
Задание 4. Страховая компания заключила 1000 независимых договоров на
следующих условиях: страховой взнос составляет K ден. ед. Страховка равна
100 K ден. ед. Вероятность наступления страхового события по каждому договору равна 0,002. Найти вероятность того, что прибыль страховой компании
будет больше половины своего математического ожидания.
Задание 5. Найти среднее количество опечаток на странице рукописи, если
вероятность того, что страница рукописи содержит хотя бы одну опечатку,
равна 0,95. Предполагается, что количество опечаток имеет распределение Пуассона.
Задание 6. Рукопись объемом в 1000 страниц содержит 1000 опечаток.
Предполагается, что количество опечаток на странице рукописи имеет распределение Пуассона. Найти вероятность того, что наугад взятая страница
содержит: а) хотя бы одну опечатку; б) ровно 2 опечатки; в) не менее двух
опечаток.
Задание 7. Производятся бросания игральной кости до первого выпадения
шести очков. Написать закон распределения случайной величины X характеризующей количество произведенных бросаний? и найти ее математическое
ожидание.
Задание 8. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию
с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший
к остановке, будет ожидать очередной автобус: а) менее 3 минут; б) более 1
минуты. Вычислить среднее время ожидания.
Задание 9. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того,
что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05. Вычислить среднюю ошибку.
Задание 10. Цена на акции компании в течение года есть СВ, имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием 30 у. е. и средним квадратическим отклонением 10 у. е. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день обслуживаемого периода цена за акцию была между 10 и 50 у. е.
Задание 11. Финансовый аналитик занимается экономическим прогнозом
банковской процентной ставки, которая в текущем году описывается случайной величиной, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием равным 20 % и средним квадратическим отклонением равным 10 %.
Найти вероятность того, что согласно прогнозу аналитика величина банковской процентной ставки будет находиться в пределах от 17 % до 23 %.
Задание 12. Случайная величина X имеет нормальное распределение. Ее
среднее квадратическое отклонение равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонение этой случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превысит 0,3.
Задание 13. Валик, изготовляемый станком-автоматом, считается стандартным, если отклонение его диаметра от проектного размера по абсолютной
величине не превышает 2 мм. Случайные отклонения диаметров валиков от
35
проектного размера имеют нормальное распределение со средним квадратическим отклонением 1,6 мм и математическим ожиданием 0 мм. Каков процент
брака среди валиков, изготовляемых станком-автоматом?
Задание 14. На рынок поступила партия говядины. Считается, что вес туши – нормально распределенная СВ с неизвестным математическим ожиданием
и средне квадратическим отклонением 150 кг. Известно, что 37 % туш имеют вес не более 1000 кг. Определить средний вес случайно выбранной туши.
Задание 15. Испытывают 3 независимо работающих элемента, время безотказной работы которых имеет показательное распределение с параметрами
12 3 0,1; 0,2; 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что за 5 часов
откажет: а) только один элемент; б) только два элемента; в) хотя бы один
элемент.
Задание 1. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения
ДСВ X , характеризующей количество выпадений шести очков. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Задание 2. Составить закон распределения ДСВ, характеризующей число
появлений события А в четырех независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6.
Задание 3. Коммутатор обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что
в течение 1 минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Записать
первые 4 возможные значения и соответствующие вероятности случайной величины X – количество абонентов, в течение 1 минуты позвонивших на коммутатор. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
Задание 4. Случайная величина X имеет нормальное распределение. Ее
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно равны 15 и 5. Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала (5; 20).
Задание 5. Случайные ошибки измерения имеют нормальное распределение со средним квадратическим отклонением 1 мм и математическим ожиданием 0 мм. Найти вероятность того, что из двух независимых измерений
ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 1,28 мм.
Задание 6. Испытывают 2 независимо работающих элемента, время безотказной работы которых имеет показательное распределение с параметрами
1 0,02 и 2 0,05 соответственно. Найти вероятность того, что за 6 часов:
а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один откажет;
г) хотя бы один откажет.
Задание 7. В каком случае вероятнее истратить более трех минут на ожидание транспорта: если ехать на автобусе с интервалом движения 4 минуты или
дважды садиться в поезд метро с интервалом движения 2 минуты? (Считать, что
время ожидания транспорта – СВ, имеющая равномерное распределение).
36
Задание 8. Число заказов N, поступающих на фирму, распределено по закону Пуассона с параметром. Каждый заказ выполняется с вероятностью
p 0,95 независимо от остальных. Найти распределение ДСВ X , равной числу заказов, выполненных за день.
Задание 9. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва
нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Записать первые 5
возможных значений и соответствующих вероятностей ДСВ X, характеризующей количество веретен, на которых в течение 1 минуты оборвалась нить.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.