ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ: «СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ» Вариант № 1 1.В урне 7 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность того, что среди наудачу вынутых 6 шаров будет 4 белых и 2 красных? 2.Три стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Какова вероятность того, что в мишень попали ровно две пули, если вероятность попадания каждым стрелком соответственно равна 0,5; 0,7; 0,8? 3.30% изделий, поступающих в магазин, изготовлено в ателье №1, остальные изготовлены на швейных фабриках. Вероятность быть изделием высокого качества для изделия, изготовленного в ателье, равна 0,9, для остальных 0,8. Какова вероятность, что купленное изделие отличного качества изготовлено в ателье №1? 13 4.Через сортировочную горку в сутки проходит 6000 вагонов. Частота появления вагонов назначения №1 равна 0,2. Сколько вагонов назначения №1 в сутки проходит в среднем через сортировочную горку? Вариант №2 1.В урне 8 белых и 4 красных шара. Какова вероятность того, что среди пяти наудачу вынутых шаров будет 3 белых? 2.Из зенитного орудия производится три выстрела по снижающемуся самолету. Вероятность попадания при 1, 2 и 3 выстрелах 0,4; 0,5; 0,6 соответственно. Определить вероятность не менее двух попаданий. 3.С первого автомата поступает на сборку 80% деталей, со второго – 20%. На первом автомате брак составляет 1%, на втором – 4%. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется стандартной. 4.В библиотеку поступили три партии книг по 100, 200 и 300 книг. Вероятность того, что книга по математике принадлежит 1, 2 и 3 партии равны 0,6; 0,7; 0,5 соответственно. Какова вероятность того, что взятая наудачу книга по математике? Вариант №3 1.Из пяти карт с буквами А, Б, В, Г и Д наудачу берут три и раскладывают. Какова вероятность того, что получится слово «два»? 2. Автоматом изготовлено 60% деталей, дающим 2% брака, а 40% - автоматом, дающим 3% брака. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Каким автоматом вероятнее всего изготовлена эта деталь? 3.Вероятность для Вани попасть в цель – 0,8, для Пети – 0,7, для Коли – 0,6. Найти вероятность того, что при одновременном залпе хотя бы один из них попал в цель. 4.В первом ящике 10 деталей, из них три стандартных, во втором – 15, из них 6 стандартных. Из каждого ящика вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали оказались стандартными. Вариант №4 1.В урне 10 белых шаров и 5 синих. Вынули три шара. Какова вероятность того, что все они одного цвета? 2.Последовательно посланы 4 сигнала. Вероятность приема каждого из них не зависит от того, приняты ли остальные сигналы и соответственно равна 0.2, 0.3, 0.4, 0.5. Определить вероятность приема трех сигналов и вероятность приема хотя бы одного сигнала. 14 3.Стрельба производится по пяти мишеням типа А, трем – типа В и двум – типа С. Вероятности попадания в мишени типа А, В, С, равны 0.4, 0.1, 0.15 соответственно. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле, если неизвестно, в мишень какого типа он будет сделан. 4.На 16 одинаковых карточках написаны числа от 1 до 16. Наудачу выбирается одна из них. Какова вероятность того, что число, написанное на ней, делится на 3? Вариант №5 1.Какова вероятность того, что сумма очков на двух брошенных игральных костях будет делиться на 4? 2.Для некоторой местности число дождливых дней в августе равно 11. Чему равна вероятность того, что первые три дня будут или все солнечные или все дождливые? 3.Имеется две урны. В первой урне 2 красных и 3 синих шара, во второй – 4 красных и 2 синих. Вероятность выбора урн одинакова. Из наудачу выбранной урны вынимают шар. Какова вероятность того, что вынутый шар синий? 4.Для разрушения моста достаточно попадания одной авиабомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сброшены 4 бомбы с вероятностями попадания 0.1, 0.2, 0.3, 0.4. Вариант №6 1.В магазине 8 продавцов, из них 5 женщин. В смену заняты три продавца. Какова вероятность того, что в наудачу выбранную смену все три продавца будут женщины? 2.Вероятность ответить на «отлично» для двух студентов равна соответственно 0.8, 0.6. Найти вероятность того, что хотя бы один из них получит «отлично». 3.В ящике лежат 10 заклепок, среди них 5 железных, 3 латунных и 2 медных. Найти вероятность того, что вынутые наудачу две заклепки будут из одного металла. 4.На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 0.5% брака, второй – 1%, третий – 0.4%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку бракованная деталь изготовлена на первом автомате, если всего поступило 100 деталей с первого автомата, 200 – со второго, 250 – с третьего. 15 Вариант №7 1.Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что герб выпадет: а) три раза, б) два раза, в) хотя бы один раз? 2.В партии одинаковых по наружному виду изделий смешаны 40 изделий первого сорта и 5 второго. Найти вероятность того, что наудачу взятые два изделия окажутся одного сорта. 3.Два баскетболиста попадают в сетку с вероятностями 0.8 и 0.7 соответственно. Каждый из них бросил по одному разу мяч. Какова вероятность того, что: а) попал один из них, б) попал в корзину хотя бы один из них? 4.Мимо бензоколонки проезжают легковые и грузовые автомобили. Среди них 40% легковых. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет на заправку для легковых равна 0.2, а для грузовых – 0.1. К бензоколонке на заправку подъехала машина. Найти вероятность того, что она грузовая. Вариант №8 1.Имеется мест на практику в Ленинград – 6, в Киев – 10, в Баку – 5. Какова вероятность того, что два друга попадут на практику в один и тот же город? 2.Вероятность того, что студент Петров решит задачу равна 0.75, а для студента Иванова вероятность решить ту же задачу равна 0.78. Найти вероятность того, что задача будет решена, если оба решают задачу независимо друг от друга. 3.При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель равна 0.75. Найти число попаданий, если всего было произведено 140 выстрелов. 4.Среди 350 механизмов 160 – первого сорта, 110 – второго, остальные третьего сорта. Вероятности брака среди механизмов первого, второго и третьего сорта равны соответственно 0.01, 0.02, 0.04. Берется один механизм. Определить вероятность того, что он исправен. Вариант №9 1.Имеется 3 одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 5 белых и 15 черных. Вынут шар из наудачу взятого ящика. Какова вероятность того, что он белый? 2.Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия 0.9. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если сделано два выстрела. 3.В группе из 25 студентов по контрольной работе получили оценку «отлично» – 5 человек, «хорошо» –7 человек, «удовлетворительно» – 9 человек, остальные – «неуд». Для анализа ошибок к доске наудачу вызваны 16 2 студента. Какова вероятность того, что оба студента получили одну и ту же оценку? 4.В трампарке 70% трамваев маршрута №1 и 30% трамваев маршрута №2. Вероятность уехать с остановки на трамвае №1 равна 0,5, на трамвае №2 равна 0,7. Найти вероятность того, что пассажир уехал. Вариант №10 1.Для участия в студенческих отборных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса – 4 человека, из второй – 6 человек, из третьей – 5 студентов. Вероятности того, что студент 1, 2, 3 группы попадет в сборную института, соответственно равны 0.9, 0.7, 0.8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. В какой из групп вероятнее всего учится студент? 2.Найти вероятность того, что при семи бросаниях игральной кости двойка выпадет не более двух раз. 3.Московским заводом поставляется 80% шин, 15% - Омским. Вероятность появления дефектной шины Московского завода – 0,03, Омского – 0,15. Какова вероятность того, что наудачу взятая шина без дефекта. 4.В урне 3 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают три шара. Найти вероятность того, что среди них есть шары двух цветов? Вариант №11 1.Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в цель в начале стрельбы 0.8, а после каждого выстрела уменьшается на 0.1. Найти вероятность того, что охотник попадает в цель: а) только один раз, б) хотя бы один раз. 2.В классе из 27 человек 4 имеют одинаковые имена. Найти вероятность того, что среди наудачу отобранных шести человек двое с одинаковыми именами. 3.70% гарнитуров, поступивших в мебельный магазин из Иркутска, 30% - из Улан-Удэ.10% иркутской мебели и 5% улан-удэнской мебели нестандартны. Какова вероятность того, что наудачу выбранный гарнитур стандартен. 4.20% изделий, поступающих в магазин, изготовлено в ателье, остальные изготовлены на швейных фабриках. Вероятность быть изделием высокого качества для изделия, изготовленного в ателье, равна 0.9, для остальных 0.75. Куплено изделие высокого качества. Где вероятнее всего оно изготовлено? 17 Вариант №12 1.Из 6 букв разрезанной азбуки составлено слово «ананас». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал и снова собрал буквы. Найти вероятность того, что снова получится слово «ананас». 2.Два охотника попадают в цель с вероятностями 0.9 и 0.95. Найти вероятность того, что при двух выстрелах каждым охотником в цель попало три пули. 3.Прибор состоит из 4 узлов, каждый из которых выходит из строя с вероятностями 0.2, 0.4, 0.1, 0.3 соответственно. Какова вероятность, что в течение рабочего дня из строя выдут: а) ровно 2 узла, б) хотя бы один узел? 4.Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры, и, помня лишь, что они различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что он сделал это правильно? Вариант №13 1.Из пяти букв, разрезанной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал и снова собрал буквы. Найти вероятность того, что снова получится слово «книга». 2.В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнения квалификационной нормы для лыжников 0.9, для велосипедистов 0.8, для бегуна – 0.75. Какова вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен выполнит норму? 3.Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа потребует внимания первый станок – 0.2, второй – 0.3, третий – 0.2, четвертый – 0.1. Найти вероятность того, что в течение часа потребует внимания хотя бы один станок. 4.Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее, выиграть каждому: а) 2 партии из 4, б) 3 из 6? Вариант №14 1.За один стол рассаживаются 8 человек, на котором стоит 8 приборов. Какова вероятность, что 2 определенных человека окажутся рядом? 2.Два студента договорились о встрече между 11 и 12 часами. Каждый приходит в случайный момент времени и ждет 15 минут. Какова вероятность того, что встреча не состоится? 3.Имеется два набора деталей: по 10 и 15 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна для наборов 0.9 и 0.8 соответственно. Взятая деталь оказалась стандартной. Какому набору вероятнее всего она принадлежит? 18 4.Последовательно посланы 4 радиосигнала. Вероятности приема равны соответственно 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 и не зависят от того, приняты ли остальные сигналы. Определить вероятность приема: а) трех сигналов, б) хотя бы одного сигнала. Вариант №15 1.Найти вероятность того, что из двух случайно написанных цифр обе одинаковые. 2.Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0.2, 0.3, 0.5. Вероятности того, что лампа не проработает гарантийное число часов 0.1, 0.3, 0.4 соответственно. Какова вероятность того, что взятая наугад лампа выдержит гарантийный срок? К какой партии вероятнее принадлежит выдержавшая гарантийный срок лампа? 3.Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятности попадания в цель для орудий 0.9, 0.7, 0.8. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель. 4. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Семья запланировала иметь трех детей. Какова вероятность того, что в семье будет 2 мальчика. Вариант №16 1.В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 5 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная. 2.Вероятности того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в АУ, ОЗУ и остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятность обнаружить сбой в АУ, ОЗУ, остальных устройствах соответственно равна 0.8, 0.9, 0.9. Какова вероятность того, что возникший сбой в ЭВМ будет обнаружен? 3.Брошено 3 игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 17? 4.Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый – 0.95, второй – 0.9. Найти вероятность того, что сработает: а) только один сигнализатор, б) хотя бы один. Вариант №17 1.По отчетным данным за декабрь на сортировочной станции С было сформировано 1550 составов, из которых 310 в направлении К. Какова частота формирования поездов в направлении К? 19 2.В гостинице 50% немецких студентов, 30% - англичан, 5% - французов. Какова вероятность того, что случайно встреченным вами турист из этой гостиницы говорит по-русски. 3.Цех изготовляет кинескопы для телевизоров, из них – 70% для цветных, 30% - для черно-белых. 50% всей продукции идет на экспорт, причем 40% для цветных телевизоров. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп из идущих на экспорт предназначен для черно-белого телевизора. 4.За некоторый промежуток времени амеба может погибнуть с вероятностью 1 / 4, выжить с вероятность 1 / 4 и разделиться на две с вероятностью 1 / 2. В следующий такой же промежуток времени с амебой происходит то же самое независимо от ее происхождения. Сколько амеб и с какими вероятностями может существовать к концу второго промежутка времени? Вариант №18 1. Электропоезд ожидают 4 пассажира, в составе которого 8 вагонов. Какова вероятность того, что все они поедут: а) в первом вагоне, б) в одном вагоне, в) в разных вагонах? 2.Через сортировочную горку в сутки проходит 500 вагонов назначения №1. Частота появления вагонов этого назначения в разборочных поездах 0.1. Сколько вагонов в среднем за сутки проходит через сортировочную горку? 3.В каждой из 3 урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую, после чего из второй урны извлечен шар и переложен в третью. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный шар из 3 урны окажется белым. 4.В ящике 10 деталей, из них 6 окрашенных. Сборщик взял наудачу 4 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окрашена. Вариант №19 1.При испытании партии приборов относительная частота годных оказалось равной 0.9. Найти число годных приборов, если проверено 200. 2.Противник применяет самолеты 5 типов. Известно, что на данном участке фронта сосредоточено равное количество самолетов каждого типа. Вероятность сбить самолет при проходе над оборонительной зоной 0.6, 0.3, 0.2, 0.1, 0.1. Самолет противника, прорвавшийся через оборонительную зону, сбит. Какова вероятность, что сбитый самолет первого типа? 3.На сортировочной платформе 8 специализированных мест. К ней без подборки попадают 8 вагонов. Найти вероятность того, что хотя бы один из них будет стоять на своем месте. 20 4.В электрической цепи 3 элемента, которые выходят из строя независимо друг от друга с вероятностями 0.1, 0.2, 0.3. Найти вероятность разрыва цепи, если элементы включены: а) параллельно, б) последовательно. Вариант №20 1.Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопрос – 0.9, на третий вопрос – 0.8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) хотя бы на два вопроса, б) на все вопросы. 2.На сортировочную станцию прибывают полувагоны, платформы, крытые вагоны с вероятностями 0.35, 0.4, 0.25. Вероятности неисправностей соответственно 0.015, 0.01, 0.02. Найти вероятность того, что неисправен крытый вагон. 3.Из урны, содержащей 10 шаров, пронумерованных от 1 до 10, вынимают друг за другом все шары. Найти вероятность того, что номера пойдут в порядке от 10 до 1. 4. Вероятность рождения мальчика 0.51. Найти вероятность того, что из 100 новорожденных будет 50 мальчиков. Вариант №21 1.На станции два сортировочных пункта. Ежесуточно на первом пункте отправляют 3 состава по 20 вагонов, из которых по 4 перегруженных, на втором -5 составов, среди которых по 2 перегруженных. Определить вероятность того, что выбранный наудачу вагон будет перегружен. 2.В партии 1000 приборов, из них 72% со знаком качества; 3% приборов со знаков качества идут на экспорт. Найти вероятность того, что взятый наудачу прибор попадет на экспорт. 3.Из хорошо стасованной колоды в 36 карт выбирают 2 карты. Какова вероятность, что среди них окажется одна дама? 4.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.8. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью 0.9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз? Вариант №22 1.Через станцию в течении суток проходит 85 поездов, из них 10 пассажирских. Какова частота следования пассажирских поездов? 2.Два электромотора работают с надежностью 0.9 и 0.8. Найти вероятность того, что работают: а)только один, б) хотя бы один, в) оба электромотора. 21 3.Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная процедура контроля признает стандартной стандартную продукцию с вероятностью 0.98 и нестандартную - с вероятностью 0.05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль и незабракованное, удовлетворяет стандарту. 4.Студент знает 20 вопросов из 25 программных. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на 3 вопроса из 4 поставленных. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет? Вариант №23 1.В среднем на станцию за смену прибывают скорые, пассажирские и грузовые поезда в отношении 2:5:8. Найти вероятность того, что первые поезда последуют в порядке : грузовой - пассажирский -грузовой - скорый. 2.На наблюдательной станции установлены 4 радиолокатора различной конструкции. Вероятности обнаружения цели каждым локатором таковы: 0.86, 0.9, 0.92, 0.95. Наблюдатель включает наудачу один из локаторов. Найти вероятность обнаружения цели. 3.Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Найти вероятность того, что ему придется звонить не более чем в 3 места. 4.Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятности допустить им ошибку при считывании показаний прибора 0.1, 0.15, 0.2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку. Вариант №24 1. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в цель при четырех выстрелах равна 0.9. Найти вероятность попадания в целъ при одном выстреле. 2.В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 3 человека, какова вероятность, что все они окажутся мужчинами? 3.В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием М, 20% - с заболеванием Л. Вероятности полного излечения болезней К, Л, М равны соответственно 0.7, 0.9, 0.8. Больной, поступивший в больницу, через некоторое время был выписан здоровым. Каким заболеванием вероятнее всего страдал больной? 22 4.На первое сентябри из 10 изучаемых предметов запланировано 3. Не успев ознакомиться с расписанием, студент пытается угадать его. Какова вероятность успеха в этом эксперименте? Вариант №25 1.Вероятность попадания в цель при одном залпе из двух орудий 0.38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле из первого орудия, если для второго эта вероятность равна 0.8? 2.Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках, в которых она может находиться с вероятностями 0.6, 0.7, 0.8. Найти вероятности того, что формула содержится: а) только в одном справочнике, б) во всех трех, в) хотя бы в одном. 3.Из 10 студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, Иванов и Петров знают 20 билетов из 30, Сидоров – только 15, остальные по 30. По прошествии определенного на подготовку времени экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного студента. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена на 85%, а при незнании билета экзамен можно сдать с вероятностью 0.1? 4.На шахматную доску случайным образом ставят две ладьи - белую и черную. Какова вероятность, что они не побьют друг друга? Вариант № 26 1.В магазине 8 продавцов, из них 5 женщин. В смену заняты три продавца. Какова вероятность того, что в наудачу выбранную смену все три продавца будут женщины? 2.В классе из 27 человек 4 имеют одинаковые имена. Найти вероятность того, что среди наудачу отобранных шести человек двое с одинаковыми именами. 3.В первом ящике 10 деталей, из них три стандартных, во втором – 15, из них 6 стандартных. Из каждого ящика вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали оказались стандартными. 4.Из колоды в 36 карт вынимают наугад карты. Какова вероятность того, что наудачу вынутая карта пиковой масти; б) две карты пиковой масти, одна червонной. Вариант № 27 1.Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что герб выпадет: а) три раза, б) два раза, в) хотя бы один раз? 23 2.Два охотника попадают в цель с вероятностями 0.9 и 0.95. Найти вероятность того, что при двух выстрелах каждым охотником в цель попало три пули. 3.На 16 одинаковых карточках написаны числа от 1 до 16. Наудачу выбирается одна из них. Какова вероятность того, что число, написанное на ней, делится на 3? 4.Московским заводом поставляется 80% шин, 15% - Омским. Вероятность появления дефектной шины Московского завода – 0,03, Омского – 0,15. Какова вероятность того, что наудачу взятая шина без дефекта. Вариант № 28 1.Имеется мест на практику в Ленинград – 6, в Киев – 10, в Баку – 5. Какова вероятность того, что два друга попадут на практику в один и тот же город? 2.В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнения квалификационной нормы для лыжников 0.9, для велосипедистов 0.8, для бегуна – 0.75. Какова вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен выполнит норму? 3.В каждой из 3 урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую, после чего из второй урны извлечен шар и переложен в третью. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный шар из 3 урны окажется белым. 4.На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 0.5% брака, второй – 1%, третий – 0.4%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку бракованная деталь изготовлена на первом автомате, если всего поступило 100 деталей с первого автомата, 200 – со второго, 250 – с третьего. Вариант № 29 1.Имеется 3 одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 5 белых и 15 черных. Вынут шар из наудачу взятого ящика. Какова вероятность того, что он белый? 2.Два баскетболиста попадают в сетку с вероятностями 0.8 и 0.7 соответственно. Каждый из них бросил по одному разу мяч. Какова вероятность того, что: а) попал один из них, б) попал в корзину хотя бы один из них? 3.Последовательно посланы 4 радиосигнала. Вероятности приема равны соответственно 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 и не зависят от того, приняты ли остальные 24 сигналы. Определить вероятность приема: а) трех сигналов, б) хотя бы одного сигнала. 4.Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,6; 0,3; 0,1 соответственно. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов равна для этих партий 0,8; 0,7; 0,9 соответственно. Определить вероятность того, что лампа не проработает заданное число часов. Вариант № 30 1.Для участия в студенческих отборных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса – 4 человека, из второй – 6 человек, из третьей – 5 студентов. Вероятности того, что студент 1, 2, 3 группы попадет в сборную института, соответственно равны 0.9, 0.7, 0.8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. В какой из групп вероятнее всего учится студент? 2.Вероятности того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в АУ, ОЗУ и остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятность обнаружить сбой в АУ, ОЗУ, остальных устройствах соответственно равна 0.8, 0.9, 0.9. Какова вероятность того, что возникший сбой в ЭВМ будет обнаружен? 3.При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель равна 0.75. Найти число попаданий, если всего было произведено 140 выстрелов. 4.Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый – 0.95, второй – 0.9. Найти вероятность того, что сработает: а) только один сигнализатор, б) хотя бы один. 25 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ: «ПОВТОРЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ» Вариант 1 1.В магазин вошло 7 покупателей. Найти вероятность того, что 5 из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого из них равна 0,3. 2.Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2. Найти вероятность того, что из 15 малых предприятий за это время сохранятся более 13. 3. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено три ошибочно укомплектованных пакета. 4.Найти вероятность того, что от 80 до 120 покупателей приобретут мужскую обувь, если вероятность покупки обуви равна 0,4 (по данным из наблюдений за предыдущий период). Вариант 2 1.Вероятность выполнить все задания в конкурсе для каждого из 8 участников 0,5. найти вероятность того, что двое участников выполнят все задания. 2.В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди 25 автомобилей имеют некомплектность три автомобиля. 3.Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что по крайней мере 9998 книг сброшюрованы правильно. 4.Известно, что в среднем 60% всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется от 90 до 130 аппаратов первого сорта, если партия содержит 200 аппаратов? Вариант 3 1.Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,5. Произведено 9 бросков. Найти вероятность того, что заброшено 6 мячей. 26 2.В коммерческом банке кассир за смену принимает 400 платежей. Вероятность того, что платеж окажется в иностранной валюте, равна 0,9. Какова вероятность того, что «иностранных» платежей буде ровно 372? 3.Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,005. Какова вероятность того, что среди 1000 деталей окажется шесть нестандартных? 4.Вероятность того, что перфокарта набита оператором неверно, равна 0,1. Найти вероятность того, что из 200 перфокарт правильно набитых будет не меньше 170. Вариант 4 1.Какова вероятность того, что при пятикратном выбрасывании кубика «6» выпадает 3 раза? 2.Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 50% студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполнят 180 студентов. 3.На предприятии 100 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Чему равна вероятность того, что в течение часа откажут как минимум две единицы оборудования? 4.При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеет уставной фонд свыше 100 млн. руб. Найти вероятность того, что среди 180 банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб. не менее 30 и не более 50. Вариант 5 1.Вероятность того, что каждый из восьми студентов сдаст экзамен по математике равна 0,7. Какова вероятность того, что 5 студентов сдадут экзамен. 2.Игральную кость бросают 90 раз. Определить вероятность того, что цифра 3 появится 28 раз. 3.Отбирается 4000 изделий. Доля брака составляет 0,00025. Какова вероятность того, что в выборке окажется ровно 2 бракованных изделия? 4.На склад магазина поступают изделия, из которых 80% высшего сорта. Какова вероятность того, что из 100 взятых наудачу изделий количество изделий высшего сорта будет заключено между числами 85 и 95? Вариант 6 1.Какова вероятность того, что при десятикратном бросании монеты герб выпадает по крайней мере один раз. 27 2.Для обслуживания покупателей супермаркета в час пик без очередей должно работать не менее 10 контролеров-кассиров из 12. Вероятность отсутствия одного из работников составляет 0,25. Найти вероятность работы расчетно-кассового узла без очередей. 3.Устройство состоит из 500 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Какова вероятность того, что за час откажут 6 элементов? 4.На склад магазина поступают изделия, из которых 75% высшего сорта. Какова вероятность того, что из 150 взятых наудачу изделий количество изделий высшего сорта будет заключено между числами 80 и 95? Вариант 7 1.Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,6. Произведено 10 бросков. Найти вероятность того, что заброшено 7 мячей. 2.Найти вероятность того, что 80 из 1000 покупателей приобретут мужскую обувь, если вероятность покупки обуви равна 0,11 (по данным из наблюдений за предыдущий период). 3.Учебник издан тиражом 1000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 бракованных книг. 4.Фирма выпускает 75% продукции первого сорта. Какова вероятность того, что из 300 изделий от 240 до 280 будут первосортными? Вариант 8 1.Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничья во внимание не принимается). 2.Вероятность попадания по движущейся мишени, равна 0,7. Какова вероятность того, что из 20 выстрелов 15 окажутся удачными? 3.Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,003. Какова вероятность того, что среди 2000 деталей окажется 4 нестандартных? 4.В банк поступило 200 авизо. Подозревают, что среди них 40 фальшивых. Тщательной проверке подвергается 100 случайно отобранных авизо. Чему равна вероятность того, что в ходе проверки обнаружится от 20 до 30 фальшивых авизо? 28 Вариант 9 1.Найти вероятность того, что событие А появляется три раза в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,8. 2.Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее 10 машин, а их имеется 15. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,15. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайшие дни. 3.Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,003. Найти вероятность того, что после облучения из 200 бактерий останется не менее 2. 4.В коммерческом банке кассир за смену принимает 300 платежей. Вероятность того, что платеж окажется в иностранной валюте, равна 0,75. Какова вероятность того, что «иностранных» платежей буде не менее 240 штук? Вариант 10 1.Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,3. Стрелок сделал 5 выстрелов. Какова вероятность того, что стрелок 3 раза промахнулся; 2.Вероятность выигрыша по облигации равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретя 20 облигаций, выиграет по 14 из них? 3.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,05. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах будет ровно 3 попадания? 4.В некоторой области 370 коммерческих банков. У каждого банка вероятность обанкротиться в течение года составляет 10%. Чему равна вероятность того, что в течение года обанкротится от 60 до 100 банков? Вариант 11 1.Монету бросили 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет менее 2-х раз. 2.Средний процент нарушения работы телевизора в течении гарантийного срока равен 11%. Какова вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров 36 выдержат гарантийный срок? 3.Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Какова вероятность того, что среди 1000 деталей окажется пять нестандартных? 4.В хозяйство поступает 300 единиц продукции, которые делятся условно на два сорта (стандартные и нестандартные). Качество каждой из них не зависит от качества любой из остальных. Вероятность того, что на удачу 29 взятая единица этой продукции окажется стандартной, равна 0,25. Найти вероятность того, что среди поступивших в хозяйство единиц этой продукции число ее стандартных единиц окажется более 78 и менее 90. Вариант 12 1.Всхожесть семян некоторого растения равна 70%. Какова вероятность того, что из девяти посеянных семян взойдут 6 семян? 2.В городе 17 коммерческих банков. У каждого банка вероятность обанкротиться в течение года составляет 10%. Чему равна вероятность того, что в течение года 14 банков не обанкротятся? 3.Вероятность появления бракованной детали равно 0,008. Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется 3 бракованных. 4.В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 100 волокон длинных окажется от 40 до 70 штук. Вариант 13 1.Вероятность того, что станок в цехе сломается в течении одной смены равна 0,5. В цехе 8 станков. Какова вероятность того, что всю смену проработают 7 станков. 2.Вероятность выигрыша на бирже равна 0,25. Определить вероятность того, что из 14 дней игры на бирже не более двух из них будут выигрышными. 3.На предприятии 500 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,002. Чему равна вероятность того, что в течение часа откажут как минимум три единицы оборудования? 4. Данные страховой компании показали, что 30% держателей страховых полисов старше 50 лет. Для проверки в случайном порядке отобрано 50 человек старше 50 лет. Чему равна вероятность того, что от 10 до 25 из них потребуют возмещения страховых сумм? Вариант 14 1.В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей не более 2-х мальчиков. Вероятность рождения мальчика принята равной 0,51. 2.В банк поступило 100 авизо. Подозревают, что среди них 20 фальшивых. Тщательной проверке подвергается 60 случайно отобранных авизо. Чему равна вероятность того, что в ходе проверке обнаружится 10 фальшивых авизо? 30 3.На склад магазина поступают изделия, из которых 20% низкого качества. Какова вероятность того, что из 500 взятых наудачу изделий 10 будут низкого качества. 4.В ходе аудиторской проверки аудитор случайным образом отбирает 100 счетов. При условии, что 3% счетов содержат ошибки, найдите вероятность того, что от 5 до 15 счетов будут с ошибкой. Вариант 15 1.Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,9. Определить вероятность того, что из 5 наудачу взятых деталей более 3-х окажутся стандартными. 2.В коммерческом банке кассир за смену принимает 150 платежей. Вероятность того, что платеж окажется в иностранной валюте, равна 0,6. Какова вероятность того, что «иностранных» платежей буде ровно 75 штук? 3.На предприятии 100 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Чему равна вероятность того, что в течение часа откажут как минимум две единицы оборудования? 4.На склад магазина поступают изделия, из которых 80% высшего сорта. Какова вероятность того, что из 100 взятых наудачу изделий количество изделий высшего сорта будет заключено между числами 50 и 85? Вариант 16 1.По цели производится 4 независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,5. Для получения зачета по стрельбе требуется не менее 3–х попаданий. Найти вероятность получения зачета. 2.Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2. Найти вероятность того, что из 15 малых предприятий за это время сохранятся два. 3.Отбирается 2000 изделий. Доля брака составляет 0,0002. Какова вероятность того, что в выборке окажется ровно 4 бракованных изделия? 4.Фирма выпускает 75% продукции первого сорта. Какова вероятность того, что из 300 изделий не менее 280 будут первосортными? Вариант 17 1.По цели производится независимый пуск 7 снарядов. Вероятность попадания в цель для каждого снаряда равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попадет не менее 2–х снарядов. 31 2.В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди 25 автомобилей имеют некомплектность менее трех. 3.Вероятность появления бракованной детали равно 0,004. Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется 5 бракованных. 4.В хозяйство поступает 225 единиц продукции, которые делятся условно на два сорта (стандартные и нестандартные). Качество каждой из них не зависит от качества любой из остальных. Вероятность того, что на удачу взятая единица этой продукции окажется стандартной, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди поступивших в хозяйство единиц этой продукции число ее стандартных единиц окажется более 46 и менее 60. Вариант 18 1.Вероятность перехвата воздушной цели одиночным истребителем равна 0,7. По каждой из 3–х целей независимо друг от друга действуют по одному истребителю. Определить вероятность того, что будет уничтожено не менее одной цели. 2.В коммерческом банке кассир за смену принимает 300 платежей. Вероятность того, что платеж окажется в иностранной валюте, равна 0,25. Какова вероятность того, что «иностранных» платежей буде ровно 80 штук? 3.Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,008. Найти вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется не менее 2. 4.В хозяйство поступает 100 единиц продукции, которые делятся условно на два сорта (стандартные и нестандартные). Качество каждой из них не зависит от качества любой из остальных. Вероятность того, что на удачу взятая единица этой продукции окажется стандартной, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди поступивших в хозяйство единиц этой продукции число ее стандартных единиц окажется более 68 и менее 90. Вариант 19 1.Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 85% случаев. Какова вероятность того, что из 6 больных поправится не менее 5? 2.В городе 17 коммерческих банков. У каждого банка вероятность обанкротиться в течение года составляет 10%. Чему равна вероятность того, что в течение года обанкротится 7 банков. 32 3.В банк отправлено 3000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено не более двух пакетов с неверным количеством денежных знаков. 4.Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 60% студентов. Найти вероятность того, что из 300 студентов работу успешно выполнят не менее 150 студентов. Вариант 20 1.Найдите вероятность того, что среди взятых наугад шести деталей три стандартные, если вероятность детали быть стандартной, равна 0,8. 2.В среднем четвертая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди 40 автомобилей имеют некомплектность 6 автомобилей. 3.Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 бракованных книг. 4.При обследовании уставных фондов банков установлено, что шестая часть банков имеет уставной фонд свыше 50 млн. руб. Найти вероятность того, что среди 1000 банков имеют уставной фонд свыше 50 млн. руб.от 200 до 350 включительно. Вариант 21 1.Вероятность того, что покупателю необходима мужская обувь 43 размера, равна 0,3. Найдите вероятность того, что из восьми покупателей, по крайней мере трем необходима обувь 41 размера. 2.В коммерческом банке кассир за смену принимает 100 платежей. Вероятность того, что платеж окажется в иностранной валюте, равна 0,9. Какова вероятность того, что «иностранных» платежей буде ровно 96 штук? 3.Отбирается 2000 изделий. Доля брака составляет 0,0002. Какова вероятность того, что в выборке окажется ровно 4 бракованных изделия? 4.В хозяйство поступает 400 единиц продукции, которые делятся условно на два сорта (стандартные и нестандартные). Качество каждой из них не зависит от качества любой из остальных. Вероятность того, что на удачу взятая единица этой продукции окажется стандартной, равна 0,5. Найти вероятность того, что среди поступивших в хозяйство единиц этой продукции число ее стандартных единиц окажется более 190 и менее 215. 33 Вариант 22 2.При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равно 0,15. Найти вероятность того, что сообщение из 8 знаков содержит два искажения. 3.Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,3. Найти вероятность того, что из 20 малых предприятий за это время сохранятся более 18. 4.В банк отправлено 1000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,002. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено два ошибочно укомплектованных пакета. 5.Найти вероятность того, что от 60 до 110 покупателей приобретут мужскую обувь, если вероятность покупки обуви равна 0,25 (по данным из наблюдений за предыдущий период). Вариант 23 1.В мастерской работают 7 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеденному перерыву равна 0,7. Найти вероятность того, что к обеденному перерыву перегреются 3 мотора. 2.В среднем восьмая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди 50 автомобилей имеют некомплектность 8 автомобилей. 3.Учебник издан тиражом 5000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что по крайней мере 3 книги сброшюрованы неправильно. 4.Известно, что в среднем 80% всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется от 75 до 100 аппаратов первого сорта, если партия содержит 150 аппаратов? Вариант 24 1.При проведении зачета курсанту предлагается 4 вопросов. Вероятность правильного ответа на один вопрос, равна 0,7. Для получения зачета необходимо правильно ответить не менее чем на 3 вопроса. Найти вероятность получения зачета. 2.В коммерческом банке кассир за смену принимает 300 платежей. Вероятность того, что платеж окажется в иностранной валюте, равна 0,25. Какова вероятность того, что «иностранных» платежей буде ровно 80? 34 3.Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,0025. Какова вероятность того, что среди 400 деталей окажется восемь нестандартных? 4.Вероятность того, что перфокарта набита оператором верно, равна 0,8. Найти вероятность того, что из 250 перфокарт правильно набитых будет не меньше 190. Вариант 25 1.Вероятность брака изделия на некотором производстве – 0,2. Найти вероятность того, что среди 5 отобранных для проверки будет не более одного бракованного. 2.Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 75% студентов. Найти вероятность того, что из 350 студентов работу успешно выполнят 200 студентов. 3.На предприятии 300 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,002. Чему равна вероятность того, что в течение часа откажут 4 единицы оборудования? 4.При обследовании уставных фондов банков установлено, что четвертая часть банков имеет уставной фонд свыше 70 млн. руб. Найти вероятность того, что среди 1500 банков имеют уставной фонд свыше 70 млн. руб. не менее 500. Вариант 26 1.Батарея сделала 9 выстрелов по военному объекту, вероятность попадания в который равна 0,3. Найти вероятность разрушения объекта, если для этого требуется не более двух попаданий. 2.Игральную кость бросают 60 раз. Определить вероятность того, что цифра 5 появится 25 раз. 3.Отбирается 3000 изделий. Доля брака составляет 0,0003. Какова вероятность того, что в выборке окажется не более двух бракованных изделия? 4.На склад магазина поступают изделия, из которых 85% высшего сорта. Какова вероятность того, что из 400 взятых наудачу изделий количество изделий высшего сорта будет заключено между числами 185 и 195? Вариант 27 35 1.Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 8 1 . Найти вероятность того, что имея 6 лотерейных билетов, можно выиграть по двум билетам. 2.Найти вероятность того, что 60 из 900 покупателей приобретут мужскую обувь, если вероятность покупки обуви равна 0,4 (по данным из наблюдений за предыдущий период). 3.Учебник издан тиражом 2000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,005. Найти вероятность того, что тираж содержит 10 бракованных книг. 4.Фирма выпускает 90% продукции первого сорта. Какова вероятность того, что из 400 изделий от 250 до 300 будут первосортными? Вариант 28 1.Завод выпускает 75% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что среди 5 отобранных не менее 4 изделий – первого сорта. 2.Вероятность попадания по движущейся мишени, равна 0,45. Какова вероятность того, что из 50 выстрелов 25 окажутся удачными? 3.Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,0015. Какова вероятность того, что среди 4000 деталей окажется 5 нестандартных? 4.В банк поступило 150 авизо. Подозревают, что среди них 50 фальшивых. Тщательной проверке подвергается 75 случайно отобранных авизо. Чему равна вероятность того, что в ходе проверки обнаружится от 30 до 35 фальшивых авизо? Вариант 29 1.Вероятность того, что наугад взятый рабочий бригады выполнит норму выработки, равна 0,9. Найти вероятность того, что, по крайней мере, двое из трех рабочих, входящих в бригаду, выполнят норму выработки. 2.Вероятность выигрыша по облигации равна 0,35. Какова вероятность того, что некто, приобретя 25 облигаций, выиграет по 17 из них? 3.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,025. Какова вероятность того, что при 200 выстрелах будет ровно 15 попаданий? 4.В некоторой области 270 коммерческих банков. У каждого банка вероятность обанкротиться в течение года составляет 15%. Чему равна вероятность того, что в течение года обанкротится от 50 до 90 банков? 36 Вариант 30 1.Вероятность ежедневного нормального расходования воды в городе принимается равной 0,75. Найти вероятность того, что 3 дня в неделю расход воды будет нормальным. 2.Средний процент нарушения работы телевизора в течении гарантийного срока равен 12%. Какова вероятность того, что из 60 наблюдаемых телевизоров 45 выдержат гарантийный срок? 3.Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,0002. Какова вероятность того, что среди 5000 деталей окажется 12 нестандартных? 4.В хозяйство поступает 150 единиц продукции, которые делятся условно на два сорта (стандартные и нестандартные). Качество каждой из них не зависит от качества любой из остальных. Вероятность того, что на удачу взятая единица этой продукции окажется стандартной, равна 0,4. Найти вероятность того, что среди поступивших в хозяйство единиц этой продукции число ее стандартных единиц окажется более 63 и менее 75.