1. Для запирания сейфов и автоматических камер хранения применяют секретные замки, которые открываются лишь тогда, когда набрано некоторое «тайное слово». Это слово набирают с помощью одного или нескольких дисков, на которых нанесены буквы (или цифры). Пусть на диск нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова? 2. Кодовый замок открывается при одновременном нажатии трех клавиш (цифры от 0 до 9) . Сколько существует различных кодов? 3. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (то есть, чтобы какое-то число очков встречалось на обеих костях)? 4. Сколько слов, содержащих 6 букв, можно составить из 33 букв русского алфавита при условии, что любые две стоящие рядом буквы различны (например, слово «корова» допускается, а слово «колосс» нет). 5. Сколькими способами можно выбрать гласную и соглас ную буквы из слова «здание»? А из слова «камзол»? 6. В группе из 16 детей 7 родились в Москве, 4 - в Санкт- Петербурге, 3 - в Киеве и 2 - в Минске. Сколькими способами можно выбрать из них 4 детей так, чтобы в группе были уроженцы всех 4 городов? 7. В премьер-лиге чемпионата России по футболу играют 16 команд. Разыгрываются медали трех достоинств: золотые, 8 серебряные и бронзовые. Сколькими способами они могут быть распределены? 8. На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и потом спуститься с нее? Решите ту же задачу при дополнительном условии, что подъем и спуск происходят по разным дорогам. 9. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост? 10. На шахматную доску надо поставить короля и ферзя. Сколькими способами это можно сделать, если короля надо поставить на белое поле, а ферзя - на черное? А если на цвет полей нет ограничений? А если обе фигуры надо поставить на белые поля? 11. Бросают игральную кость с 6 гранями и запускают вол чок, имеющий 8 граней. Сколькими различными способами мо гут они упасть? 12. В купе железнодорожного вагона имеются два противо положных дивана по пять мест в каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть по движению поезда, трое - против движения, остальным трем безразлично, как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры. 13. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белое и черное поля, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали? 14. На ферме есть 20 овец и 24 свиньи (все разной упи танности). Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз? 15. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей, чтобы они не били друг друга? 16. Имеются пирожные 7 различных типов. Пирожные одно го и того же типа считаем неразличимыми. Сколько существует различных способов покупки 12 пирожных? 9 17. На почте имеются марки 10-ти различных типов. Поку пается 15 марок. Сколько существует различных способов покуп ки 15-ти марок? 18. На 6-ти карточках написаны буквы, из которых можно составить слово АНАНАС. Сколько существует различных шестибуквенных слов, которые можно составить при помощи этих 6-ти карточек? 19. На 10-ти карточках написаны буквы так, что из этих кар точек можно составить слово МАТЕМАТИКА. Сколько сущест вует различных 10-буквенных слов, которые можно образовать при помощи этих десяти карточек? 20. В букинистическом магазине лежат 6 разных изданий романа И. С. Тургенева «Рудин», 3 издания его же романа «Дворянское гнездо» и 4 издания романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5 разных сборников, в каждом из которых есть романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 сборников с романами «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов? А если в магазине есть еще 3 сборника, содержащие романы «Рудин» и «Отцы и дети», и 5 книг, содер жащих все три романа? 21. Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо составить команду из 4 человек для участия в беге на 1000 м. Сколькими способами это можно сделать? А сколькими способами можно составить команду из 4 человек для участия в эстафете 100 + 200 + 400 + 800? 22. Какое наибольшее число различных шаров можно постро ить в пространстве так, чтобы они касались трех данных плос костей и данного шара? 23. Из 3 типов ручек, 7 типов карандашей и 7 типов ластиков надо выбрать ручку, карандаш и ластик. Сколькими способами это можно сделать. 24. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждую команду должен входить хотя бы один юноша? 10 25. Из состава конференции, на которой присутствуют 52 человека, надо избрать президиум в составе 5 человек и делегацию в составе 3 человек. Сколькими способами может быть произведен выбор, если члены президиума могут войти в состав делегации? А если члены президиума не могут войти в состав делегации? 26. У одного человека есть 7 книг по математике, а у друго го - 9 книг. Сколькими способами они могут обменять одну книгу одного на одну книгу другого? А 3 книги одного на 3 книги другого? 27. Имеется 26 монет. Одна из них фальшивая (по весу она тяжелее). За какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно ее определить? 28. Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых? А если в отряд долж ны войти командир роты и старший по возрасту из сержантов? 29. На 9-ти карточках написано по одной цифре от 1 до 9 без повторений. Располагая любые 3 карточки в строку, мы получим трехзначное число. Сколько различных трехзначных чисел можно изобразить при помощи этих 9-ти карточек? Сколько различных пятизначных чисел можно изобразить, используя эти 9 карточек? Сколько различных девятизначных чисел можно изобразить с помощью этих 9-ти карточек? 30. У Миши 6 друзей и ежедневно в течение 20 дней он приглашает к себе в гости троих из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами он может это сделать? 31. На сколько нулей оканчивается число will 32. Сколько существует 5-значных телефонных номеров, у которых все цифры различны? 33. Сколько существует палиндромов длины п в языке с 26 буквами? 34. Имеется перестановка из 5 элементов: ai, a2, ..., a5. Найти число всех перестановок из этих элементов, в каждой из которых на первом месте - не a1, а на втором не a2? 11 Указание 1. Ответ представить в виде разности числа всех перестановок из пяти элементов и перестановок, не удовле творяющих условию задачи. Указание 2. Обратить внимание на то, что, вычитая переста новки, в которых на первом месте стоит ai, и перестановки, в которых на втором месте стоит a2, мы некоторые перестановки вычитаем дважды. 35. Сколько 8-значных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если в каждом числе цифра 1 содержится 3 раза, а остальные цифры по одному разу? 36. Сколько можно составить перестановок из n элементов при условии, что данные m элементов не стоят рядом в любом порядке? 37. Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек» так, чтобы четыре буквы «е» не шли подряд? 38. Сколькими способами можно переставить буквы слова «опоссум» так, чтобы буква «п» шла непосредственно после буквы «о»? 39. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд? 40. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом? 41. Через каждую из трех данных точек на плоскости проведем по т прямых так, чтобы среди них не было двух, параллельных между собой, и трех, пересекающихся в одной точке (за естественным исключением трех прямых одного пучка). Найдите число точек пересечения этих прямых (не считая трех данных). 42. Сколько шестизначных чисел содержат ровно три раз личные цифры? 43. В составлении 40 задач принимало участие 30 студентов со всех пяти курсов. Любые два студента с одного курса при думали поровну задач, а любые два студента с разных курсов - разное число задач. Сколько человек придумало одну задачу? 44. Сколько имеется шестизначных чисел, у которых сумма цифр четна (допускаются лишь шестизначные числа, первая 12 цифра которых отлична от 0)? А если берут все числа от 1 до 999 999? 45. Сколько существует пятизначных чисел? Во скольких из них все цифры четны? Во скольких все цифры нечетны? Во сколько не входят цифры, меньшие шести? Во скольких нет цифр, больших трех? 46. Сколько и каких цифр понадобится, чтобы написать все числа от 1 до 999 999 включительно? А от 1 до 10n - 1 включительно? 47. Найдите сумму всех четырехзначных чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5. 48. Сколько существует пятизначных четных чисел, в кото рых ни одна цифра не повторяется? 49. В некотором государстве не было двух жителей с одина ковым набором зубов. Какова может быть наибольшая числен ность населения этого государства, если во рту человека может быть не более 32 зубов? П! 50. Доказать, что --------:-------- целое число, если П1!П2!...nk! n = n1 + n2 +... + nk (щ >0 целые числа). 51. Сколькими различными способами можно усадить за круглый стол n человек, если 2 способа считаются одинаковыми, когда любой человек имеет тех же соседей (левый и правый не различаются). Указание 1. Если все одновременно сдвинутся на 1 стул в одном направлении, то у каждого останутся те же самые соседи. Указание 2. Так как соседи справа и слева неразличимы, то можно любого сидящего оставить на месте, а остальных пере садить на места, симметричные относительно того, кто остался на своем месте. 52. Сколькими способами 5 юношей могут познакомиться с 4-мя девушками, если каждая девушка знакомится ровно с 1 юношей? 53. Какое наибольшее число слонов можно расставить на шахматной доске, чтобы они не били друг друга? Доказать, что число способов такой расстановки есть квадрат некоторого числа. 13 54. Дана последовательность чисел 1, 2, 3, ... 2n. Сколькими способами можно извлечь из нее три числа, из которых можно построить арифметическую прогрессию? То же самое для после довательности чисел 1, 2, 3, .... 2n + 1. 55. Найдите количество троек различных натуральных чисел, не превосходящих 100, из которых можно построить геометри ческую прогрессию. 56. Окна дома, обращенные к морю, расположены в узлах прямоугольной сетки с m горизонталями (этажами) и n верти калями. Сколько сигналов можно передать находящемуся в море кораблю, освещая некоторые из окон дома, если в темноте нельзя различить положение освещенных окон относительно дома? 57. У меня есть шесть друзей. За некоторое время каждый из них был у меня на обеде 7 раз, каждые двое встретились у меня на обеде 5 раз, каждые трое - 4 раза, каждые четверо - 3 раза, с каждыми пятью я обедал 2 раза, со всеми шестью - 1 раз, каждый друг отсутствовал у меня на обеде 8 раз. Сколько раз я обедал один? Сколько было обедов за это время? 58. Сколько двузначных чисел в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, даст полный квадрат? 59. Из числа 12345678910111213...9899100 вычеркните 100 цифр так, чтобы оставшееся число было: а) наибольшим, б) наименьшим (записи, начинающиеся с нуля, недопустимы). 60. Можно ли расставить 9 чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по кругу так, чтобы сумма любых трех чисел, стоящих подряд, делилась на 3 и была: а) больше 9; б) больше 15? 61. а) Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт есть хотя бы один туз? Ровно 1 туз? Не менее двух тузов? Ровно два туза? б) Сколькими способами можно выбрать из полной колоды, содержащей 52 карты, 6 карт так, чтобы среди них были все четыре масти? 62. В премьер-лиге чемпионата России по футболу играют 16 команд. Назовем два исхода чемпионата совпадающими в главном, если при этих исходах совпадают обладатели золотых, серебряных и бронзовых медалей, а также три команды, поки 14 дающих премьер-лигу. Найти число различных в главном исхо дов первенства. 63. Сколько можно сделать перестановок из n элементов, в которых элементы а и b не стоят рядом? 64. В урне находятся 10 белых, 15 черных и 20 красных шаров. Из урны наудачу берут 9 шаров. Найти сколькими различ ными способами можно: а) выбрать 9 шаров; б) взять 9 шаров, среди которых 6 белых и 3 черных; в) взять 9 шаров, среди которых 2 белых, 3 черных и 4 крас ных шара. 65. В клубе суеверных велосипедистов не любят цифру восемь, особенно в номерах своих членских билетов. Сколько членов состоит в клубе, если известно, что использованы все трехзначные номера, не содержащие ни одной восьмерки? (Например, 000 использован, а 836 нет.) 66. Семь девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг? 67. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно вы брать шесть карт, содержащих три туза? 68. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно вы брать шесть карт, содержащих хотя бы одного туза? 69. Сколькими способами можно разложить на два кармана 9 монет различного достоинства? 70. На окружности отмечено n точек. Сколько существует различных многоугольников (необязательно выпуклых), вписан ных в эту окружность, вершинами которых служат данные точ ки? А сколько выпуклых многоугольников? 71. а) Сколько существует треугольников, вершины которых совпадают с вершинами данного выпуклого n-угольника, но стороны не совпадают со сторонами этого n-угольника? б) Найдите число всех выпуклых к-угольников, вершинами которых служат к из n вершин выпуклого n-угольника, причем каждые две соседние вершины к-угольника должны быть раз делены, по меньшей мере, s вершинами n-угольника. 15 72. Сколькими способами можно представить натурально число n в виде суммы двух натуральных слагаемых? (Рассмот реть случаи, когда порядок слагаемых важен и когда не важен). 73. Экскурсанты на пароходе заказали 8 четырехместных кают. Все места в каждой из кают и все каюты равноценны. Сколькими способами могут экскурсанты разместиться в каютах, если их 32 человека? 74. Сколькими способами можно поставить на доску две шашки - белую и черную, так, чтобы белая шашка могла бить черную? 75. Сколькими способами можно переставлять буквы в слове «фацетия» так, чтобы не менялся порядок гласных букв? А в слове «параллелизм»? 76. Сколькими способами можно переставить буквы слова «пастух» так, чтобы между двумя гласными были две согласные буквы? 77. Сколькими способами можно переставлять буквы слова «логарифм» так, чтобы второе, четвертое и шестое места были заняты согласными буквами? 78. а) Сколькими способами можно переставить буквы слова «огород» так, чтобы три буквы «о» не стояли рядом? б) а если запрещается, чтобы две буквы «о» стояли рядом? 79. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «тик-так» так, чтобы две одинаковые буквы не стояли рядом? А в слове «космос»? В слове «тартар»? 80. У Паши 7 друзей. В течение недели он приглашает их к себе по 3 обедать, причем компании не повторяются. Сколькими способами он может составить расписание обедов так, чтобы: а) никакие два друга не встретились у него более одного раза: б) никто не остался неприглашенным; в) ни один из друзей не посещал его каждый день? 81. В прошлые века процветала так называемая генуэзская лотерея, сохранившаяся в некоторых странах до сих пор. Суть ее заключалась в следующем. Участники лотереи покупали билеты, на которых стояли числа от 1 до 90. Можно было купить билет, содержащий от 1 до 5 чисел. В день розыгрыша лотереи из мешка, содержащего жетоны с числами, вынимали пять жетонов. 16 Выигрывали те, у кого все числа на билете были среди извле ченных. Если участник лотереи покупал билет с одним числом, то в случае выигрыша получал в 15 раз больше стоимости билета, если с двумя числами (амбо), то в 270 раз больше, с тремя (терн) - в 5 500 раз больше, с четырьмя (катерн) - в 75 000 раз больше, а если с пятью числами (квин), то в 1 000 000 раз больше, чем стоимость билета. Многие люди пытались обогатиться, но мало кому это удавалось. Докажите, что по правилам лотереи в выигрыше всегда оставались ее организаторы. 82. У мужа 12 знакомых - 5 женщин и 7 мужчин, а у жены - 7 женщин и 5 мужчин (иные, чем у мужа). Сколькими способами можно составить компанию из 6 мужчин и 6 женщин так, чтобы 6 человек пригласил муж и 6 - жена? 83. На каждом борту лодки у весел должны сидеть по 4 челове ка. Сколькими способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31 кандидат, причем 10 человек хотят сидеть на левом борту лодки, 12 - на правом, а для 9 безразлично, где сидеть? 84. Сколько различных десятизначных чисел можно написать, пользуясь лишь цифрами 1, 2, 3, при дополнительном условии, что цифра 3 используется в каждом числе ровно два раза? Сколько из написанных чисел делится на 9? 85. Оргкомитет олимпиады состоит из 11 человек. Матери алы олимпиады хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф и сколькими ключами следует снабдить каждого члена оргкомитета, чтобы доступ в сейф был возможен, когда собе рутся любые 6 членов оргкомитета, и не был возможен, если соберутся меньше 6 членов? 86. а) Сколькими различными способами можно выбрать не сколько букв из фразы «Око за око, зуб за зуб»? Порядок букв не учитывается. б) Сколькими способами можно выбрать из той же фразы три буквы? в) Сколькими способами можно выбрать из этой фразы три буквы, если учитывать порядок выбранных букв? 87. На плоскости даны 5 точек, причем среди прямых, соеди няющих эти точки, нет параллельных, перпендикулярных или совпадающих. Проводим через каждую из 5 точек перпен 17 дикуляры ко всем прямым, которые можно построить, соединяя другие точки. Каково максимальное число точек пересечения между собой этих перпендикуляров, не считая данные 5 точек? 88. Найдите количество шестизначных чисел, таких, что сум ма трехзначного числа, образованного первыми тремя цифрами, и трехзначного числа, образованного последними тремя цифрами, меньше 1000. 89. Сколькими способами можно переставить буквы слова «кофеварка» так, чтобы гласные и согласные буквы чередо вались? А в слове «самовар»? 90. Сколькими способами можно выбрать из слова «лога рифм» две согласных и одну гласную букву? А если среди выбранных букв должна быть буква «ф»? 91. Сколькими способами можно переставлять буквы слова «пастухи» так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке? 92. Сколькими способами можно переставлять буквы слова «Абакан» так, чтобы согласные шли в алфавитном порядке? То же самое при дополнительном условии, что две буквы «а» не идут подряд. 93. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 20 два числа так, чтобы их сумма была нечетной? А четной? 94. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 30 три натуральных числа так, чтобы их сумма была четной? 95. Из колоды в 52 карты двое выбирают по 4 карты каждый. Сколько возможно различных выборов? Во скольких случаях один из них получит четыре туза, а другой - четыре короля? 96. Два экзаменатора, работая одновременно, экзаменуют группу в 12 человек по двум предметам (каждый по своему). Каждый экзаменующийся отвечает по 5 минут по каждому пред мету. Сколькими способами могут экзаменаторы распределить между собой работу с учетом того, что экзаменующийся не мо жет отвечать сразу по двум предметам? 97. Клетки шахматной доски раскрашиваются в 8 цветов так, что в каждом горизонтальном ряду встречаются все 8 цветов, а в 18 каждом вертикальном ряду не встречаются подряд две клетки одного цвета. Сколькими способами возможна такая раскраска? 98. В научно-исследовательском институте работают 67 чело век. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык и 23 - оба языка. Сколько человек в институте не знают ни английского, ни немецкого языка? 99. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутербро ды с колбасой взяли 47 человек, с сыром - 38 человек, с вет чиной - 42, с сыром и колбасой - 28 человек, с сыром и с ветчи ной - 31 человек, с колбасой и ветчиной - 26 человек, все три вида бутербродов взяли 25 человек. А сколько человек вместо бутербродов взяли пирожки? 100. Староста одного класса дал следующие сведения об учениках: «В классе учатся 45 школьников, в том числе 25 маль чиков. 30 школьников учатся на хорошо и отлично, в том числе 16 мальчиков. Спортом занимаются 28 учеников, в том числе 18 мальчиков и 17 школьников, учащихся на хорошо и отлично. 15 мальчиков учатся на хорошо и отлично и в то же время занимаются спортом». Через несколько дней старосту вызвал к себе классный руководитель, который (как назло) вел математику и сказал, что в сведениях есть ошибка. Попробуйте выяснить, как он это узнал. 101. Укротитель хищных зверей собирается вывести на арену цирка 5 львов и 4 тигров; при этом нельзя, чтобы два тигра шли друг за другом. Сколькими способами он может расположить зверей? 102. На книжной полке стоят 12 книг. Сколькими способами можно из них выбрать 5 книг так, чтобы никакие две из них не стояли рядом? 103. За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей. Из них каждый враждует со своими соседями. Надо выбрать 5 рыца рей, чтобы освободить заколдованную принцессу. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных рыцарей не было врагов? 104. Почтальон перепутал 5 писем и положил их в абонент ские ящики случайным образом. Подсчитайте, во скольких слу 19 чаях он создал бы полную путаницу и никто не получил своего письма. 105. По пустыне идет караван из 9 верблюдов. Путешествие длится много дней, и наконец, всем надоедает видеть впереди себя одного и того же верблюда. Сколькими способами можно переставить верблюдов так, чтобы впереди каждого верблюда шел другой, чем раньше? 106. Сколькими способами можно расставить в ряд 6 англи чан, 7 французов и 10 турок так, чтобы каждый англичанин стоял между французом и турком, но никакие француз и турок не стояли рядом? Решите ту же задачу для 5 англичан, 7 французов и 10 турок. 107. Сколькими способами можно построить 2п человек в две равных шеренги, чтобы в каждой шеренге они стояли по росту, причем каждый человек в первой шеренге был выше стоящего за ним человека во второй шеренге? 108. Две девушки собрали 10 ромашек, 15 васильков и 14 не забудок. Сколькими способами они могут разделить эти цветы, чтобы обе получили не менее трех цветов каждого вида. 109. Сколькими способами можно разделить 10 белых грибов, 15 подберезовиков и 8 подосиновиков между четырьмя ребятами, чтобы каждому досталось хотя бы по одному грибу каждого сорта? 110. Сколькими способами можно раздать колоду в 52 карты 13 игрокам по 4 карты каждому игроку? Решите ту же задачу при условии, что каждый должен получить по одной карте каждой масти. Решите ту же задачу при условии, что один игрок имеет карты всех четырех мастей, а остальные - карты одной масти. 111. В лифт вошли 8 человек. Сколькими способами они могут выйти на 4-х этажах так, чтобы на каждом этаже вышел хотя бы один человек? 112. Поступающий в высшее учебное заведение должен сдать четыре экзамена. Абитуриент полагает, что для поступления будет достаточно набрать 17 баллов. Сколькими способами он может сдать экзамены, чтобы наверняка поступить в вуз (при условии, что двоек получать нельзя)? 20 113. Сколькими способами можно составить вес в 78 г, пользуясь восьмью разновесками в 1, 1, 2, 5, 10, 10, 20, 50 г? При этом считается, что применение двух различных разновесок, хотя бы и имеющих одинаковый вес, дает различные комбинации. 114. Сколькими способами можно получить по восьми разным предметам оценки 3, 4 или 5 так, чтобы их сумма равнялась 30? 115. Сколькими способами можно составить 6 «слов» из всех 32 букв, если в совокупности этих 6 слов каждая буква исполь зуется один и только один раз? 116. Компания, состоящая из 10 супружеских пар, делится на 5 групп по 4 человека для лодочной прогулки так, чтобы в каж дой лодке оказались двое мужчин и две женщины. а) Сколькими способами можно их разделить? б) Во скольких случаях данный мужчина окажется в одной лодке со своей женой? в) Во скольких случаях данные двое мужчин окажутся каждый в одной лодке со своей женой? 117. Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черные поля доски так, чтобы: а) это положение было симметрично относительно центра доски; б) при симметрии относительно центра доски цвета всех шашек менялись? 118. Горизонтали шахматной доски обозначаются обычно цифрами от 1 до 8, а вертикали — буквами от а до h. Занумеруем по вертикали числами от 1 до 8, причем в произвольном порядке. Теперь напишем на каждом поле произведение чисел, означающих соответствующие горизонталь и вертикаль, и расставим произвольным образом 8 ладей так, чтобы они не били друг друга. Найдите произведение чисел, закрытых этими ладьями. 119. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске двух коней - белого и черного, так, чтобы они не били друг друга? 120. Поставьте на шахматную доску 5 ферзей так, чтобы они держали под ударом все ее поля. 21 121. Поставьте на шахматную доску 8 фигур (короля, ферзя, двух ладей, двух слонов, двух коней) так, чтобы они держали под ударом наибольшее число полей. 122. Какое наименьшее число слонов надо поставить на шахматную доску, чтобы они держали под боем каждое поле доски и каждый слон был защищен другим? 123. Расставьте на шахматной доске наименьшее число ладей так, чтобы каждое поле было бито, по крайней мере, два раза. Решите задачу в двух вариантах: а) считая, что ладья не бьет полей, заслоненных от нее другими ладьями; б) считая, что она бьет такие поля. 124. Какое наименьшее число коней нужно расставить на шахматной доске, чтобы все поля были под ударом (поле, где стоит конь, считается под ударом)? 125. На плоскости проведены n прямых так, что никакие три из них не пересекаются в одной точке. На сколько частей делится плоскость? 126. 1000 точек являются вершинами выпуклого тысячеуголь ника, внутри которого расположено еще 500 точек так, что никакие три из этих 1500 точек не лежат на одной прямой. Данный тысячеугольник разрезан на треугольники так, что все указанные 1500 точек являются вершинами треугольников и никаких других вершин эти треугольники не имеют. Сколько получится треугольников при таком разрезании? А если дан n-угольник и внутри m точек? 127. а) На сколько частей делят плоскость n прямых линий, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну и ту же точку? б) На сколько частей делят пространство n плоскостей, из которых никакие 4 не содержат одну и ту же точку, никакие 3 не содержат одну и ту же прямую и никакие 2 не параллельны? 128. а) На сколько областей делят плоскость n окружностей, каждые две из которых пересекаются и никакие три из которых не проходят через одну и ту же точку? 22 б) На сколько областей делят пространство n попарно пересекающихся сфер, из которых никакие 4 не проходят через одну и ту же точку и никакие 3 - через одну и ту же окружность? 129. Можно ли представить число 1958 в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел? А 2004? 2005? 130. Пять человек играют несколько партий в домино (двое на двое), причем каждый играющий играет с каждым один раз в паре и два раза - в качестве противников. Найдите количество сыгранных партий и все способы распределения играющих. 131. В выражении (1 + х)56 раскрыты скобки и приведены подобные слагаемые. Найти коэффициенты при х12 и х48. 132. Что больше: 9950+ 10050 или 10150? 133. На плоскости проведены m параллельных прямых и n пря мых, пересекающих их и друг друга. Никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей они разбивают плоскость? 134. В начале координат находится частица. Через 1 секунду она распадается на две частицы, одна сдвигается на единицу длины влево, а другая — вправо. Этот процесс повторяется через каждую секунду, причем две частицы, оказавшиеся в одной точке, взаимно уничтожаются (так что, например, через две секунды остается две частицы). Сколько частиц будет через 129 секунд? Через n секунд? 135. Сеть метро имеет на каждой линии не менее 4 станций, из них не более 3 пересадочных. Ни на какой пересадочной станции не пересекается более двух линии. Какое наибольшее число станций может иметь такая сеть, если с любой станции можно проехать на любую другую, сделав не более двух пересадок? 136. Можно ли проложить в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что какие бы 8 маршрутов ни были взяты, найдется остановка, не принадлежащая ни одному из этих маршрутов, а любые 9 маршрутов проходят через все оста новки? 137. Сторона куба равна 3 см. Найдите наименьшее количество распилов, которые нужно сделать, чтобы распилить его на 27 кубиков со стороной 1 см (части куба после распиливания можно перекладывать). 138. В коробке находятся 50 деталей, из которых 10 брако ванных. Из коробки наудачу берут 5 деталей. Найти число различ 23 ных способов взятия 5 деталей, среди которых ровно 3 брако ванных. 139. На корабле имеется 7 флажков семи основных цветов. Для передачи команды на другой корабль на мачту поднимают к (1 < к <7) флажков. Эти флажки располагают по вертикали сверху вниз. Каждому способу расположения к таких флажков соот ветствует свое слово - своя команда, различным способам расположения к флажков соответствуют разные слова-команды. Сколько существует различных команд, которые можно передать при помощи к флажков? Сколько существует различных команд, которые можно передать этими флажками? 140. Найти сумму: С + 2CI + 3C3 +... + пСП.