Вариант 1
1. В аукционе участвуют 10 добросовестных приобретателей и 2 мошенника, приготовившие для оплаты фальшивые деньги. Случайным образом у одного из них оказывается сумма, большая, чем у других, и он побеждает в торгах. Найти вероятность попытки расплатиться фальшивками.
2. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: ц, а, я, и, к. Карточки перемешаны. Найти вероятность того, что на пяти вынутых по одной и расположенных в одну линию карточках можно будет прочесть слово «акция».
3. Из колоды карт (52 шт.) вынимается одна карта наугад. Какова вероятность, что это будет туз или дама?
4. Покупатель приобрел акции двух предприятий. Вероятность того, что первое предприятие принесет прибыль в течение года, равна 0,9; а для второго - 0,8. Найти вероятность того, что оба предприятия принесут прибыль в течение года.
5. Зашедший в магазин мужчина что-нибудь покупает с вероятностью 0,1; зашедшая в магазин женщина - с вероятностью 0,6. У прилавка один мужчина и три женщины. Какова вероятность того, что, по крайней мере, одно лицо что-нибудь купит?
6. Шесть преподавателей независимо назначают консультации на один из пяти дней недели (с равной вероятностью на любой из этих дней). Какова вероятность того, что в понедельник будет консультация более чем у двух преподавателей?
7. Вероятность того, что взятый кредит не будет возвращен, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 выданных кредитов окажется от 65 до 90 невозвращенных.
8. Преподаватель задает студенту дополнительные вопросы и прекращает задавать вопросы, как только студент не отвечает на вопрос. Всего преподаватель может задать не более трех вопросов. Составить закон распределения случайной величины X - числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель, если вероятность того, что студент ответит на дополнительный вопрос, равна 0,8.
10. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [-1; 3]. Найти ее дисперсию и вероятность попадания X в интервал [-1/2; 1/2].
11. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Её математическое ожидание и дисперсия соответственно равны M(X) = 10, D(X) = 16. Найти вероятность попадания Xв интервал (2;13).
12. Длительность времени безошибочной работы сотрудника банка в течение рабочего дня имеет показательное распределение с 1 = 0,2. Найти вероятность того, что за время рабочего дня (t = 8 часов): а) сотрудник ошибется; б) сотрудник не ошибется.
Вариант 2
1. Из полной колоды карт (52 штуки) наудачу извлекается карта. Найти вероятность того, что это будет тройка.
2. На торгах продаются акции 30 предприятий, 5 из которых принесут прибыль в следующем году. Некто покупает три акции. Определить вероятность того, что среди купленных акций не будет прибыльных.
3. Статистические данные, собранные среди студентов одного из вузов, выявили следующие факты: 50 % всех студентов занимаются спортом, 30 % участвуют в научной работе на кафедрах и 10 % занимаются тем и другим. Корреспондент местной газеты подошел к выбранному наугад студенту. Какова вероятность того, что этот студент занимается, по крайней мере, одним из указанных видов деятельности?
4. Вы останавливаете наугад на улице трех человек и спрашиваете, в какой день недели они родились. Найти вероятность того, что все они родились в понедельник
5. Из 10 студентов, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо хорошо, двое удовлетворительно, а один совсем не готовился - понадеялся на то, что всё помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся студенты могут ответить на все 20 вопросов, хорошо - на 16 вопросов, удовлетворительно - на 10 вопросов, не подготовившиеся - на 5 вопросов. Каждый студент получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первый студент ответил на все три вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?
6. Игральная кость бросается 4 раза. Найти вероятность того, что: шестерка появится: а) ровно один раз; б) хотя бы один раз.
7. Вероятность опечатки на странице рукописи равна 0,3. В рукописи 210 страниц машинописного текста. Найти вероятность того, что в рукописи не более 50 страниц с опечатками.
8. Торговый агент имеет 5 номеров потенциальных покупателей и обзванивает их по одному разу до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4. Составить закон распределения числа телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
9. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = х/2 при 0 < х < 2 и fx) = 0 вне этого интервала. Найти М(Х), D(X). Найти функцию распределения F(x), построить графики fx) и F(x).
10. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [-1; 4]. Записать ее функцию распределения, найти вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 2).
11. Производится расчет себестоимости некоторого сложного изделия без систематических ошибок. Случайные ошибки расчета подчинены нормальному распределению со средним квадратическим отклонением s = 15 у. е. Найти вероятность того, что расчет себестоимости будет произведен с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 у. е.
12. Случайная непрерывная величина X распределена по показательному закону с 1 = 0,2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение больше 4.
Вариант 3
1. Студент пообещал, что придет на экзамен, назвав наудачу месяц и число. Найти вероятность того, что это будет воскресенье.
2. В киоске продаются шариковые ручки: 4 черных и 10 синих. Одновременно были куплены 3 ручки. Какова вероятность, что все они синие?
3. Вероятность сдать экзамен по математике на оценку «удовлетворительно» равна 0,6; на «хорошо» - 0,2; на «отлично» - 0,1. Студент, сдавший математику на «хорошо» или «отлично», получит стипендию. Какова вероятность получения стипендии наугад выбранного студента после экзамена по математике?
4. Вероятность получения прибыли во время кризиса предприятием A составляет 0,5; предприятием B - 0,3; а предприятием C - 0,7. Предприятия получают прибыль независимо друг от друга. Какова вероятность, что во время кризиса прибыль будет получена хотя бы одним предприятием?
5. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и соответственно равны 0,6; 0,2; 0,2. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, соответственно равна 0,2; 0,4; 0,3. Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была вторая касса.
6. Вероятность того, что в коробке с мелом есть сломанные мелки, равна 0,3. Найти вероятность того, что из 5 коробок найдутся 2, содержащие сломанные мелки.
7. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что за 27 выстрелов мишень будет поражена ровно 20 раз.
10. Величина годовой прибыли некоторого предприятия распределена равномерно на отрезке [5; 15] млн. у. е. Каковы математическое ожидание и дисперсия годовой прибыли этого предприятия?
11. Случайная величина X распределена нормально с M(X) = 1, D(X) = 0,25. Найти, на какую величину значения случайной величины X отличаются от математического ожидания с вероятностью 0,997.
12. Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром 1 = 1/3. Что вероятнее: в результате испытания X окажется меньше 2 или больше 2?
Вариант 4
1. Набирая номер телефона, абонент забыл 2 последние цифры и набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
2. В городе 5 добросовестных предпринимателей и 3 мошенника. ОБЭП проверила сразу пять случайно отобранных предпринимателей. Найти вероятность того, что четыре из них будут добросовестными, а один -мошенником.
3. Вероятность вытащить из коробки с карандашами красный карандаш равна - 5/12, синий - 1/3, зеленый - 1/6 и желтый - 1/12. Наугад вынимается один карандаш. Какова вероятность, что его цвет будет красный или желтый?
4. Вероятность приобрести билет на поезд Екатеринбург - Москва непосредственно перед отправлением равна 0,3. Вероятность того, что удастся приобрести билет на поезд Москва - Екатеринбург, который отправляется через неделю, равна 0,5. Какова вероятность, что пассажир, подошедший в кассу непосредственно перед отправлением поезда, приобретет билет на отправляющийся поезд в Москву и билет обратно на поезд из Москвы, отправляющийся через неделю, одновременно?
5. В группе имеется 15 студентов, для которых вероятность успешной учебы в течение года равна 0,9 и 3 студента - с вероятностью успешной учебы 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу студент группы будет успешно учиться в течение года.
6. Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что: а) герб выпадет ровно два раза; б) герб выпадет не менее двух раз.
7. Кассир обслуживает 500 покупателей в день. Вероятность ошибки при расчете одного покупателя составляет 0,004. Найти вероятность того, что в течение дня будут неверно рассчитаны более двух покупателей.
8. Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. у. е. в компанию A и 15 тыс. у. е. в компанию B. Компания A обещает 50 % годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,2. Компания B обещает 40 % годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,15. Получение прибыли с каждой из компаний считать независимыми событиями. Составить закон распределения случайной величины X - общей суммы прибыли, полученной от двух компаний, найти ее математическое ожидание и дисперсию.
10. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [-0,5; 2,5]. Найти M(X) и D(X). Что вероятнее: в результате испытания X окажется в интервале [0; 1] или вне этого интервала.
11. Случайная величина X распределена по нормальному закону, M(X) = -1, D(X) = 0,25. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания (M(X) - A; M(X) + А), которому принадлежат значения случайной величины X с вероятностью 0,997.
12. Тупиковая станция обслуживает потребности предприятия, но принимает и грузы для других потребителей. Число таких вагонов, прибывающих в течение суток, является случайной величиной, распределенной по показательному закону с 1 = 0,05. Определить вероятность прибытия на эту станцию в течение суток от 20 до 30 вагонов других потребителей.
Вариант 5
1. Страховая компания продала за год 10 000 полисов добровольного медицинского страхования и разыграла среди них один автомобиль. В течение года заболели 15 застрахованных. Какова вероятность, что автомобиль выиграл один из заболевших владельцев полиса?
2. Для выполнения лабораторной работы группа студентов случайным образом разбивается на две подгруппы по 12 человек в каждой. Найти вероятность того, что три друга попадут в одну и ту же подгруппу.
3. Вероятность того, что случайно зашедший в магазин покупатель приобретет товар на сумму до 500 руб., равна 0,7; на сумму от 500 до 1000 руб. - 0,25 и на сумму свыше 1000 руб. - 0,05. Какова вероятность, что покупатель приобретет товар на сумму свыше 500 руб.?
4. Из полной колоды карт (52 штуки) последовательно вынимаются три карты, одна за другой. Какова вероятность, что это будут тройка, семерка, туз?
5. Страховая компания разделяет водителей по трем классам: класс Н1 -низкого риска, класс Н2 - среднего риска, класс Н3 - высокого риска. 30 % водителей попадает в класс Н1, 50 % - в класс Н2 и 20 % - в класс Н3. Вероятность в течение года попасть в аварию для водителя класса Н1 равна 0,01; для водителя класса Н2 равна 0,02; а для водителя класса Н3 равна 0,08. Водитель Иванов в течение года попадает в аварию. Какова вероятность, что он относится к классу Н1?
6. Изделия некоторого завода содержат 5 % брака. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 5 изделий не окажется ни одного испорченного?
7. Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,08. Какова вероятность, что из 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции?
8. Тест состоит из пяти вопросов, на каждый из которых приведено 4 варианта ответа, из которых только 1 правильный. Студент не знает ни одного вопроса и выбирает ответы наудачу. Составить закон распределения случайной величины X - числа правильных ответов теста. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
10. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [-0,1; 5,3]. Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал [3; 4].
11. Стоимость акции предприятия на рынке подчиняется нормальному распределению. Средняя стоимость ее равна 50 у. е., дисперсия равна 1 у. е . Найти вероятность того, что удастся приобрести акцию предприятия по цене не меньше 49,5 у. е. и не больше 50,5 у. е.
12. Непрерывная случайная непрерывная величина X распределена по показательному закону с 1 = 2. Найти вероятность попадания X в интервал
(0; 3).
Вариант 6
1. На обанкротившееся предприятие назначен внешний управляющий, который должен выбрать себе заместителя наугад. Из 5000 сотрудников предприятия в банкротстве виновны 10 человек. Какова вероятность, что новый руководитель выберет к себе в заместители виновника банкротства, если он выбирает заместителя случайным образом?
2. Из полной колоды карт (52 штуки) одновременно наудачу извлекаются 2 карты. Какова вероятность, что обе карты - тузы?
3. Студент решил на остаток от стипендии купить одну книгу. Вероятность, что он купит детектив, равна 0,3; что купит книгу стихов - 0,2; что купит учебник по математике - 0,1. Какова вероятность, что студент купит книгу другого жанра?
4. В двух одинаковых урнах лежат одинаковые по форме и разные по цвету шары. В первой урне - 3 черных, 2 белых шара; во второй урне - 5 черных и 10 белых шаров. Из первой и второй урны одновременно извлекают по одному шару. Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми?
5. Студент во время экзамена для решения сложной задачи решил воспользоваться мобильным телефоном, в котором записаны номера десяти его друзей. Пятеро друзей могут решить задачу с вероятностью 0,3; четверо с вероятностью 0,5 и лишь один (обучающийся по специальности «прикладная математика») с вероятностью 1. Первый же звонок по телефону позволил студенту решить задачу. Какова вероятность, что он дозвонился до друга-математика, если он выбирал номер из записной книги телефона наугад?
6. Вероятность того, что расход энергии в общежитии за сутки превысит норму, равна 0,4. Найти вероятность того, что за неделю норма будет превышена ровно 2 раза.
7. Вероятность наступления страхового случая по медицинской страховке у одного клиента в течение месяца равна 0,05. Какова вероятность того, что в течение года у клиента наступит: а) более двух страховых случаев; б) ни одного страхового случая?
10. Толщина конспекта по математике студента распределена равномерно от 10 до 50 листов. Какова вероятность обнаружить конспект по математике толщиной от 40 до 45 листов?
11. Случайная величина X распределена по нормальному закону с M(X = 9, D(X = 25. Записать её плотность распределения, найти вероятность попадания X в интервал (5; 14).
12. Случайная величина X распределена по показательному закону с плотностью 1 = 0,5. Какова вероятность, что в результате испытания X примет значение больше 1?
Вариант 7
1. Студенты (15 человек) ушли в поход. Из них только 10 умеют готовить. Каждый день дежурного по еде выбирают по жребию. Какова вероятность, что в первый день похода студенты останутся голодом?
2. Оформление годового отчета поделили между экономистами Ивановым (10 листов), Петровой (15 листов) и Сидоровым (5 листов). Из отчета наудачу извлекли 3 листа. Какова вероятность, что все они оформлены Ивановым?
3. На десяти карточках напечатано число 10, на пяти - 15, на двух - 30. Карточки перемешивают и наугад извлекают 6 штук. Какова вероятность того, что сумма напечатанных на них чисел будет не больше ста?
4. Бросаются одновременно три игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадет хотя бы одна шестерка?
5. Имеется 10 одинаковых урн, в 9 из них находятся по два черных и по два белых шара, а в одной - 5 белых и один черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность того, что шар извлечен из урны, содержащей пять белых шаров?
6. Вероятность выиграть компьютерную игру составляет 0,8. Студент играл 4 раза за день. Какова вероятность, что он выиграл не более двух раз?
7. На склад поступают изделия, из которых 80 % оказываются высшего сорта. Найти вероятность того, что из 100 взятых наугад изделий будет 84 изделия высшего сорта.
8. Предприниматель обещает поставить товар по цене 50 у. е. за единицу в случае предоплаты. В случае расчетов после получения товар будет стоить дороже. Известно, что 30 % клиентов этого предпринимателя предпочитают
предоплату, а в среднем товар продается по цене 75 у. е. за единицу. Определить, по какой стоимости предприниматель продает свой товар при оплате после получения. Составить закон распределения случайной величины X- стоимости единицы товара.
10. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [-2; 4]. Найти ее дисперсию и вероятность попадания X в интервал [-1/2; 1/2].
11. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Её математическое ожидание и дисперсия соответственно равны M(X) = 5, D(X) = 9. Найти вероятность попадания Xв интервал (0;10).
12. Секретарь совершает в среднем одну ошибку за 3 часа. Время работы до совершения ошибки имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что за время рабочего дня (t = 8 часов) секретарь ни разу не ошибется.
Вариант 8
1. Тридесятое королевство объявило конкурс научно-технических проектов среди 100 коллективов развивающихся стран, пообещав профинансировать только 1, выбранный случайным образом, при условии права собственности королевства на результаты проекта. Спецслужбам тридесятого королевства стало известно, что только пять ученых из этих стран обладают идеями, способными принести прибыль, но благодаря их мобильности неизвестно, в котором из 100 коллективов они согласятся работать (совместная работа этих пятерых невозможна по техническим причинам). Какова вероятность, что тридесятое королевство в результате конкурса приобретет прибыльную идею?
2. В цветочном магазине имеются 15 роз, 20 тюльпанов и 10 гвоздик. Покупатель попросил составить букет из 5 наугад выбранных цветов. Какова вероятность, что букет будет состоять из одних роз?
3. Предприниматель, желающий получить разрешение на проведение рекламной акции, может попасть на прием к любому из трех чиновников, обладающих одинаковыми полномочиями - M, N, K. Вероятность того, что он попадет на прием к M, равна 0,5; N - 0,4; K - 0,05. Какова вероятность, что предприниматель обратится к M или N?
4. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудия соответственно равны 0,8 и 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из обоих орудий.
5. Студенты в количестве 90 % сдали экзамен по математике за 1 семестр вовремя. Вероятность того, что сдавший экзамен за 1 семестр вовремя студент вовремя сдаст экзамен по математике за 2 семестр, равна 0,8. Вероятность того, что студент, сдавший экзамен за 1 семестр с опозданием, сдаст экзамен по математике за 2 семестр вовремя, равна 0,2. Какова вероятность того, что студент, выбранный наугад, сдаст экзамен за 2 семестр вовремя?
6. Вероятность возврата кредита заемщиком равна 0,85. Какова вероятность, что из 5 заемщиков кредит вернут более половины заемщиков?
7. В штате фирмы работают 100 сотрудников, каждый из которых оказывается на рабочем месте в течение 80 % всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени работают от 70 до 86 сотрудников?
8. Игральная кость бросается три раза. Построить закон распределения случайной величины X - числа выпадений шестерки. Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).
10. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [-2,3; 4,0]. Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал [3; 4].
11. Производится расчет издержек на производство некоторого изделия. Случайные ошибки расчета подчинены нормальному распределению со средним квадратическим отклонением s = 10 у. е. Найти вероятность того, что расчет себестоимости будет произведен с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 у. е.
12. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону с 1 = 0,5. Найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1; 2).
Вариант 9
1. В урне лежат 5 белых и 15 черных шаров. Какова вероятность вытащить черный шар?
2. Студент пришел на экзамен, зная ответы на 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает ответы на эти вопросы.
3. По оценкам экспертов, вероятность того, что в текущем году предприятие получит доход до 1000 у. е. равна 0,3; от 1000 до 5000 у. е. - 0,4; от 5000 до 50000 у. е. - 0,23 и свыше 50000 у. е. - 0,07. Расходы предприятия в год составляют 5000 у. е. Найти вероятность того, что предприятие получит прибыль в текущем году.
4. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятности попаданий при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,6; 0,7; 0,9. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов в мишени будет хотя бы одна пробоина.
5. Строительная бригада получает железобетонные перекрытия от трех домостроительных комбинатов (ДСК): от 1 ДСК - 30 %, от 2 ДСК - 55 % и от 3 ДСК - 15 %. Известно, что брак продукции 1 ДСК составляет 5 %, 2 ДСК - 6 %, а 3 ДСК - 10 %. Полученные перекрытия хранятся на общем складе. Наугад проверенное перекрытие оказалось браком. Какова вероятность того, что бракованное перекрытие изготовлено на 1 ДСК?
6. Тестовое задание по математике содержит пять вариантов ответов, из которых только 1 правильный. Какова вероятность угадать три правильных ответа в тесте из 8 заданий?
7. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что: а) на базу прибудут ровно 3 негодных изделия; б) что вся партия будет целой.
8. На складе фирмы три партии различного товара: A на сумму 50 000 руб., B на сумму 30 000 руб. и C на сумму 100 000 руб. Вероятность того, что весь товар будет распродан, соответственно, равна: для A - 0,5; для B - 0,8; для C - 0,75. Фирма не делит партии товара по частям. Составить закон распределения суммарной выручки фирмы.
10. Величина годовой прибыли некоторого предприятия распределена равномерно на отрезке [1; 4] млн у. е. Каковы математическое ожидание и дисперсия годовой прибыли этого предприятия?
11. Случайная величина Xраспределена нормально с M(X) = 5, D(X) = 0,5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания (M(X) - A; M(X) + А), которому принадлежат значения случайной величины X с вероятностью 0,997.
12. Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром 1 = 1/4. Что вероятнее: в результате испытания X окажется меньше 3 или больше 3?
Вариант 10
1. Пароль в компьютере - трехзначное число. Какова вероятность «взлома» компьютера, если набрать число наугад?
2. Студент купил карточку «Спортлото» и отметил в ней 6 из имеющихся 49 номеров, после чего в тираже разыгрываются 6 «выигравших» номеров из 49. Найти вероятность того, что верно указаны 4 номера из 6.
3. В билете к зачету по математике содержится только один вопрос. Вопрос по теории вероятностей встречается с вероятностью 0,5; вопрос по теме «Ряды» - 0,3; вопрос по дифференциальным уравнениям - 0,1. Какова вероятность, что в наугад вытащенном билете к зачету не содержится вопроса по теории вероятностей?
4. В бюджет города N поступают налоговые отчисления с 5 фирм. Вероятность того, что налог будет уплачен, для каждой фирмы равна 0,7. Найти вероятность неуплаты налога хотя бы одной фирмой.
5. Фирма получает товар через трех посредников. Вероятности того, что посредник будет выполнять условия договора поставки в течение времени T, соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Посредники могут нарушить договор независимо друг от друга. По истечении времени T выяснилось, что товар на фирму не поступил. Найти вероятность того, что договор нарушил только третий посредник.
6. Вероятность найти лавровый лист в тарелке супа, купленной в столовой, составляет 0,15. Какова вероятность того, что 5 друзей смогут составить букет из 3 лавровых листьев, пообедав в столовой?
7. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится на каждый шестой договор. Какова вероятность того, что на 100 договоров доля страховых случаев будет равна 0,1?
8. Производится бросание игральной кости до первого выпадения шестерки. Записать закон распределения случайной величины X - числа бросаний кости. Найти вероятность того, что будет сделано ровно 4 броска.
10. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [-1,5; 4,5]. Найти M(X) и D(X). Что вероятнее: в результате испытания X окажется в интервале [0; 2] или вне этого интервала
11. Случайная величина X распределена по нормальному закону, M(X) =
- 2,5; D(X) = 0,25. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания (M(X) - A; M(X) + А), которому принадлежат значения случайной величины X с вероятностью 0,997.
12. Число вагонов, прибывающих в течение суток на станцию, является случайной величиной, распределенной по показательному закону с 1 = 0,03. Определить вероятность прибытия на эту станцию в течение суток более 10 вагонов.
Вариант 11
1. Рекрутинговое агентство города N получило задание найти экономиста, внешне похожего на К. Маркса. В городе N проживает 50 бородатых мужчин, из которых 12 имеют экономическое образование. Какова вероятность найти искомого специалиста, остановив на улице первого попавшегося мужчину с бородой?
2. В пакете находится 20 конфет: 10 конфет «Белочка», 3 конфеты «Курортные» и 7 конфет «Кара-Кум». Ребенок наугад достает 5 конфет. Какова вероятность, что среди них будет 4 «Белочки» и 1 «Кара-Кум»?
3. Инвестор планирует приобрести акции только одного из трех предприятий. В условиях, исключающих одновременную покупку акций двух и более предприятий, вероятность покупки равна, соответственно, для A - 0,5; для B - 0,35; для C - 0,03. Какова вероятность, что инвестор приобретет акцию предприятий A или B?
4. Монета подбрасывается до тех пор, пока впервые не появится герб. Какова вероятность того, что будет произведено не более трех бросаний монеты?
5. В течение семестра студент может учиться в двух режимах: нормальном (лекции и семинары) и ненормальном (экзаменационная сессия). Нормальный режим занимает 85 % времени учебы, ненормальный - 15 % . Вероятность болезни студента в течение семестра равна 0,1; в сессию - 0,7. Студент заболел 1 раз. Какова вероятность, что это случилось в сессию?
6. Вероятность получения дивидендов по акциям различных предприятий города равна 0,3. Некто приобрел 7 акций. Какова вероятность, что покупатель получит дивиденды по 5 из них?
7. На склад поступают изделия, из которых 75 % оказываются высшего сорта. Найти вероятность того, что из 80 взятых наугад изделий будет 60 изделий высшего сорта.
8. Студент знает 15 из 20 вопросов зачета. В билете 3 вопроса. Найти закон распределения случайной величины X - количества вопросов из билета, которые студент знает.
10. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0; 4]. Записать ее функцию распределения, найти M(X) и D(X).
11. Стоимость акции предприятия на рынке подчиняется нормальному распределению. Средняя стоимость ее равна 100 у. е., дисперсия равна 25 у. е. Найти вероятность того, что удастся приобрести акцию предприятия по цене не меньше 50 у. е. и не больше 70 у. е.
12. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону с 1 = 1/2. Найти вероятность попадания X в интервал (2; 3).
Вариант 12
1. При подготовке к экзамену студент выучил 19 билетов из 25. Какова вероятность сдать экзамен, если на экзамене будет задан 1 вопрос?
2. На каждой из четырех одинаковых карточек напечатана одна из букв: л, о, с, т. Карточки перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной и расположенных в одну линию карточках можно будет прочесть слово «стол».
3. Из колоды карт (36 штук) достают 1 карту. Какова вероятность вытащить даму или число больше 8?
4. Предположим, что вероятность нормальной работы в течение года для фирмы А равна 0,8; а для фирмы В - 5/6. Найти вероятность того, что в течение года нормально проработает хотя бы одна из них.
5. В налоговую инспекцию поданы 10 деклараций, для которых вероятность правильного оформления равна 0,9; и 5 деклараций - с вероятностью правильного оформления 0,95. Найти вероятность того, что взятая инспектором наудачу декларация оформлена правильно.
6. Вероятность того, что продаваемая в магазине в пачке печенья не полная, равна 0,05. Какова вероятность, что из 4 купленных пачек печенья одна - неполная?
7. В среднем 10 % работоспособного населения некоторого региона -безработные. Какова вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10000 работоспособных жителей региона будет в пределах от 9 % до 11 %?
8. Случайная дискретная величина рейтинг, полученный за контрольную работу, у студента (X) может принимать только два значения: xi (если не зачтено) и х2 (если зачтено)(х1 < х2). В группе студентов известна вероятность 0,1 возможного значения х1, средний рейтинг -18 и дисперсия рейтинга 576. Записать закон распределения рейтинга в группе.
10. Толщина конспекта по математике студента распределена равномерно от 20 до 36 листов. Какова вероятность обнаружить конспект по математике толще 30 листов?
11. Случайная величина X распределена по нормальному закону с M(X) = 16, D(X) = 36. Записать её плотность распределения, найти вероятность попадания X в интервал (10; 20).
12. Случайная величина X распределена по показательному закону с плотностью 1 = 1. Какова вероятность, что в результате испытания X в интервале (0,9; 1,1)?
Вариант 13
1. Для проведения расчетов заработной платы на фирме A можно выбрать 1 из 15 компьютеров, среди которых 2 износились и не годятся для выполнения расчетов. Новый бухгалтер фирмы A занял для расчетов наугад выбранный компьютер. Какова вероятность, что заработная плата будет рассчитана?
2. Пароль состоит из 6 различных букв латинского алфавита (всего - 26). Какова вероятность угадать пароль с одной попытки?
3. Студент решил на остаток от стипендии купить один пирожок. Вероятность, что он купит пирожок с мясом, равна 0,4; что купит пирожок с рыбой- 0,3; что купит пирожок с капустой - 0,3. Какова вероятность, что студент купит пирожок с мясом или рыбой?
4. Вы останавливаете наугад на улице пять человек и спрашиваете, в какой день недели они родились. Найти вероятность того, что все они родились в пятницу
5. На проверку поступили контрольные работы по математике, среди которых 30 % работ с ошибками. Схема проверки такова: с вероятностью 0,95 обнаруживаются ошибки (если они есть) и существует вероятность 0,03 того, что правильно решенная контрольная работа не будет зачтена. Какова вероятность того, что случайно выбранная контрольная не будет зачтена?
6. Вероятность выиграть одну компьютерную игру составляет 0,3. Студент сыграл 6 раз. Какова вероятность, что он выиграл не больше двух раз?
7. За день студент отправляет 30 SMS-сообщений со своего мобильного телефона. Каждое из сообщений с вероятностью 0,15 независимо от других не доходит до адресата. Найти вероятность того, что будет потеряно 5 сообщений.
8. В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимость которых 200 и 50 у. е. Составить закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего два билета.
10. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [-3; 1]. Найти ее математическое ожидание и вероятность попадания X в интервал [1/2; 1/2].
11. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Её математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение соответственно равны M(X) = 15, s= 6. Найти вероятность попадания Xв интервал (0; 10).
12. Время работы до совершения ошибки инспектора патрульно-постовой службы имеет показательное распределение с 1 = 2. Найти вероятность того, что за время рабочего дня (t = 8 часов): а) инспектор ошибется; б) инспектор не ошибется.
Вариант 14
1. В урне 3 красных шара, 2 синих шара и один зеленый шар. Какова вероятность вытащить черный шар?
2. В группе 23 человека. На экзамене было получено три отличные оценки. Из списка студентов наугад выбираются пять человек. Какова вероятность того, что из этих студентов трое получили отличные оценки?
3. Предприниматель, желающий получить разрешение на проведение рекламной акции, может попасть на прием к любому из трех чиновников, обладающих одинаковыми полномочиями-M, N, K. Вероятность того, что он попадет на прием к M, равна 0,4; N - 0,35; K - 0,25. Какова вероятность, что предприниматель обратится к M или N?
4. Из полной колоду карт (52 штуки) последовательно вынимаются три карты, одна за другой. Какова вероятность, что это будут тройка, семерка, дама?
5. В магазин поступают лампы, изготовленные двумя заводами: первый -70 %, второй - 30 % всех ламп. Из 100 ламп первого завода, в среднем, 83 стандартных, из 100 ламп второго завода, в среднем, 63 стандартных. Продана стандартная лампа. Какова вероятность того, что она произведена на первом заводе?
6. Шесть преподавателей независимо назначают консультации на один из пяти дней недели (с равной вероятностью на любой из этих дней). Какова вероятность того, что в понедельник будет консультация менее чем у двух преподавателей?
7. В агентстве работают 200 одинаково надежных сотрудников, вероятность нетрудоспособности каждого из которых равна 0,1. Какова вероятность отказа агентства от выполнения обязательств, если агентство отказывается от обязательств при нетрудоспособности более 25 сотрудников?
8. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. В билете 3 вопроса. Записать закон распределения случайной величины X - числа известных студенту вопросов в билете. Найти M(X).
10. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [-4; 4]. Записать ее функцию распределения, найти вероятность попадания случайной величины в интервал [-5; 2].
11. Производится расчет себестоимости перевозок из пункта A в пункт B. Случайные ошибки расчета подчинены нормальному распределению со средним квадратическим отклонением s = 20 у. е. Найти вероятность того, что расчет себестоимости будет произведен с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 у. е.
12. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону с 1 = 0,6. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение больше 2. Записать плотность распределения случайной величины X.
Вариант 15
1. Из 20 поставщиков, участвующих в тендере, 5 на грани банкротства, однако скрывают этот факт от организаторов. Какова вероятность, что случайно выигравший тендер поставщик не обанкротится?
2. В коробке лежит карандаши разных цветов: 3 синих, 7 красных, 5 зеленых. Наугад вытащили 3 карандаша. Какова вероятность того, что среди них 1 синий и 2 красных карандаша?
3. Вероятность того, что случайно зашедший в магазин покупатель приобретет товар на сумму до 300 руб., равна 0,6; на сумму от 300 до 500 руб. -0,15; от 500 до 700 руб. - 0,2 и на сумму свыше 700 руб. - 0,05. Какова вероятность, что покупатель приобретет товар на сумму свыше 500 руб.?
4. Вероятность приобрести билет на поезд Екатеринбург - Санкт-Петербург непосредственно перед отправлением равна 0,6. Вероятность того, что удастся приобрести билет на поезд Санкт-Петербург - Екатеринбург, который отправляется через неделю, равна 0,8. Какова вероятность, что пассажир, подошедший в кассу непосредственно перед отправлением поезда, приобретет билет на отправляющийся поезд в Санкт-Петербург и билет обратно на поезд из Санкт-Петербурга, отправляющийся через неделю, одновременно?
5. Студент приготовил к экзамену шпаргалки и будет сдавать экзамен с равной вероятностью одному из двух преподавателей. Первый обнаруживает шпаргалку с вероятностью - 0,9; второй - с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что на экзамене шпаргалка будет обнаружена?
6. Вероятность того, что взятый кредит не будет возвращен, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 100 выданных кредитов окажется более 70 невозвращенных.
7. АТС обслуживает 1000 телефонных номеров. Вероятность обрыва связи на одном номере в течение суток равна 0,004. Найти вероятность того, что за сутки: а) обрыв не произойдет; б) произойдет обрыв ровно на трех номерах.
8. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 40-го размера, равна 0,4. В обувном отделе 3 покупателя. Записать закон распределения случайной величины X - числа покупателей в отделе, которым потребуется обувь 40-го размера. Найти M (X), D (X).
10. Величина годовой прибыли некоторого предприятия распределена равномерно на отрезке [3; 5] тыс. у. е. Каковы математическое ожидание и дисперсия годовой прибыли этого предприятия?
11. Случайная величина X распределена нормально с M(X) = 2, D(X) = 9. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания (M(X) - A; M(X) + А), которому принадлежат значения случайной величины X с вероятностью 0,997.
12. Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром 1 = 1/5. Что вероятнее: в результате испытания X окажется меньше 5 или больше 5? Записать функцию распределения случайной величины X.
Вариант 16
1. В телефоне студента Лентяйкина имеется 20 номеров друзей, из которых 7 разбираются в математике. Во время решения типового расчета по теории вероятностей Лентяйкину случайно позвонил кто-то из друзей. Какова вероятность, что звонок друга поможет решить задачи типового расчета?
2. Из 25 вопросов по теории вероятностей студент выучил только 15. В билете 3 вопроса. Какова вероятность, что в наугад выбранном билете все вопросы окажутся невыученными?
3. На пяти карточках напечатано число 30, на восьми - 40. Карточки перемешивают и наугад извлекают три штуки. Какова вероятность того, что сумма напечатанных на них чисел будет не больше ста?
4. Покупатель приобрел акции трех предприятий. Вероятность того, что первое предприятие принесет прибыль в течение года, равна 0,5; второе - 0,8; третье - 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы одно предприятие принесет прибыль в течение года.
5. Предприниматель может обратиться для регистрации фирмы в органы власти одного из трех районов - M, N, K. Вероятности обращения в органы власти каждого района зависят от их местоположения и соответственно равны 0,3; 0,2; 0,5. Вероятность того, что к моменту прихода предпринимателя чиновник откажется регистрировать фирму по различным причинам, соответственно равна 0,3; 0,1; 0,3. Предприниматель зарегистрировал фирму в одном из городов. Найти вероятность того, что это была район N.
6. За день студент отправляет 7 SMS-сообщений со своего мобильного телефона. Каждое из сообщений с вероятностью 0,15 независимо от других не доходит до адресата. Найти вероятность того, что будет потеряно 3 сообщения.
7. При приобретении страховки вероятность наступления страхового случая в течение месяца равна 0,05. Какова вероятность того, что в течение пяти лет страховой случай наступает: а) более двух раз; б) ни одной раза?
8. Налоговый инспектор проверяет декларацию о доходах постранично до первой ошибки. После обнаружения ошибки декларация возвращается составителю на доработку. Вероятность обнаружить ошибку на странице равна 0,4. Сданная в инспекцию на проверку декларация содержит пять страниц. Составить закон распределения случайной величины X - числа проверенных страниц. На какой странице, в среднем, останавливается проверка декларации из пяти страниц?
10. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [-1,1; 4,3]. Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал [1; 2].
11. Стоимость турпутевки на рынке подчиняется нормальному распределению. Средняя стоимость ее равна 500 у. е., среднеквадратическое отклонение равно 10 у. е. Найти вероятность того, что удастся приобрести турпутевку по цене не меньше 400 у. е. и не больше 500 у. е.
12. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону с 1 = 1,2. Найти вероятность попадания X в интервал (2; 3). Записать плотность ее распределения.
Вариант 17
1. Налоговая инспекция города N организовала случайную проверку фирм на предмет налоговых правонарушений. Из 100 фирм города N налоговые правонарушения разной степени тяжести совершены 5 фирмами. Какова вероятность, что проверка случайно выбранной фирмы выявит правонарушение?
2. Студент пришел на экзамен, зная ответы на 12 из 20 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 4 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает ответы на эти вопросы.
3. Вероятность вытащить из коробки с карандашами красный карандаш равна - 6/25, синий - 10/25, зеленый - 2/25 и желтый - 5/25. Наугад вынимается один карандаш. Какова вероятность, что его цвет будет синий или желтый?
4. Вероятность получения прибыли во время кризиса предприятием A составляет 0,2; предприятием B - 0,3; а предприятием C - 0,45. Какова вероятность, что во время кризиса прибыль будет получена только одним предприятием, если считать, что прибыль каждого предприятия не зависит от прибыли остальных предприятий?
5. В тарелке лежат 6 красных и 4 зеленых яблока. Наугад вынимаются два яблока. Из этих яблок случайным образом выбирается одно. Какова вероятность того, что это яблоко - зеленое?
6. Вероятность того, что акции, переданные клиентом на депозит, будут востребованы в течение года, равна 0,1. Какова вероятность, что из 5 клиентов 3 востребуют свои акции?
7. Вероятность возврата кредита одним заемщиком равна 0,75. Найти вероятность того, что из 27 заемщиков кредит вернут ровно 20.
8. Преподаватель задает студенту дополнительные вопросы и прекращает задавать вопросы, как только студент не отвечает на вопрос. Всего преподаватель может задать не более 4 дополнительных вопросов. Составить закон распределения случайной величины X - числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель, если вероятность того, что студент ответит на дополнительный вопрос, равна 0,7.
10. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0,5; 2,7]. Найти M(X) и D(X). Что вероятнее: в результате испытания X окажется в интервале [1; 2] или вне этого интервала
-0,5; D(X) = 0,25. Найти интервал, симметричный относительно
математического ожидания (M(X) - A; M(X) + А), которому принадлежат значения случайной величины X с вероятностью 0,997. Записать плотность распределения случайной величины.
12. Тупиковая станция обслуживает потребности предприятия, но принимает и грузы для других потребителей. Число таких вагонов, прибывающих в течение суток, является случайной величиной, распределенной по показательному закону с 1 = 0,5. Определить вероятность прибытия на эту станцию в течение суток от 10 до 15 вагонов других потребителей.
Вариант 18
1. Студент добирается до университета по одному из 5 маршрутов. Он доберется без опозданий, если на маршруте нет пробки. Пробки возникают на 3 маршрутах из 5 случайным образом. Какова вероятность доехать до университета без опозданий?
2. В городе 7 добросовестных предпринимателей и 4 мошенника. ОБЭП проверила сразу пять случайно отобранных предпринимателей. Найти вероятность того, что четыре из них будут добросовестными, а один -мошенником.
3. Из колоды карт (36 шт.) вынимаются две карты наугад. Какова вероятность, что они будут одной масти?
4. Предположим, что вероятность нормальной работы в течение года для фирмы А равна 0,6; а для фирмы В - 5/8. Найти вероятность того, что нормально в течение года будет работать только одна из них.
5. На сборку поступают детали с двух станков в соотношении 2:3. Первый станок допускает 1 % брака, второй - 1,5 %. Какой процент бракованных деталей поступает на сборку?
6. Вероятность обнаружить в коробке с мелом сломанные мелки, равна 0,25. Найти вероятность того, что в из 6 коробок в 4 есть сломанные мелки.
7. Вероятность того, что поступивший в университет студент будет отчислен в течение обучения, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 принятых студентов от 65 до 90 будут отчислены за время обучения.
8. Тест состоит из 4 вопросов, на каждый из которых приведено 5 вариантов ответа. Среди вариантов ответов на каждый вопрос только 1 правильный ответ. Студент не знает ни одного вопроса и выбирает ответы наудачу. Составить закон распределения случайной величины X - числа правильных ответов теста. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
10. Толщина конспекта по математике студента распределена равномерно от 12 до 48 листов. Какова вероятность обнаружить конспект по математике толщиной от 30 до 40 листов?
11. Случайная величина X распределена по нормальному закону с M(X) = 11, D(X) = 36. Записать её плотность распределения, найти вероятность попадания X в интервал (6; 15).
12. Случайная величина X распределена по показательному закону с плотностью 1 = 0,25. Какова вероятность, что в результате испытания X примет значение более 0,8? Записать плотность распределения случайной величины.