menu
person

Задача №2907

Два иг­ро­ка, Паша и Вася, иг­ра­ют в сле­ду­ю­щую игру. Перед иг­ро­к

Два иг­ро­ка, Паша и Вася, иг­ра­ют в сле­ду­ю­щую игру. Перед иг­ро­ка­ми лежит куча кам­ней. Иг­ро­ки ходят по оче­ре­ди, пер­вый ход де­ла­ет Паша. За один ход игрок может до­ба­вить в кучу один или два камня или уве­ли­чить ко­ли­че­ство

кам­ней в куче в два раза. На­при­мер, имея кучу из 15 кам­ней, за один ход можно по­лу­чить кучу из 16, 17 или 30 кам­ней. У каж­до­го иг­ро­ка, чтобы де­лать ходы, есть не­огра­ни­чен­ное ко­ли­че­ство кам­ней.

Игра за­вер­ша­ет­ся в тот мо­мент, когда ко­ли­че­ство кам­ней в куче ста­но­вит­ся не менее 56. По­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся игрок, сде­лав­ший по­след­ний ход, то есть пер­вым по­лу­чив­ший кучу, в ко­то­рой будет 56 или боль­ше кам­ней.

В на­чаль­ный мо­мент в куче было S кам­ней, 1 ≤ S ≤ 55.

Будем го­во­рить, что игрок имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию, если он может вы­иг­рать при любых ходах про­тив­ни­ка. Опи­сать стра­те­гию иг­ро­ка – зна­чит опи­сать, какой ход он дол­жен сде­лать в любой си­ту­а­ции, ко­то­рая ему может встре­тить­ся при раз­лич­ной игре про­тив­ни­ка.

 

Вы­пол­ни­те сле­ду­ю­щие за­да­ния. Во всех слу­ча­ях обос­но­вы­вай­те свой ответ.

За­да­ние 1

а) Ука­жи­те все такие зна­че­ния числа S, при ко­то­рых Паша может вы­иг­рать в один ход. Обос­нуй­те, что най­де­ны все нуж­ные зна­че­ния S, и ука­жи­те вы­иг­ры­ва­ю­щий ход для каж­до­го ука­зан­но­го зна­че­ния S.

б) Ука­жи­те такое зна­че­ние S, при ко­то­ром Паша не может вы­иг­рать за один ход, но при любом ходе Паши Вася может вы­иг­рать своим пер­вым ходом. Опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию Васи.

 

За­да­ние 2

Ука­жи­те два таких зна­че­ния S, при ко­то­рых у Паши есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия, причём (а) Паша не может вы­иг­рать за один ход и (б) Паша может вы­иг­рать своим вто­рым ходом не­за­ви­си­мо от того, как будет хо­дить Вася. Для каж­до­го ука­зан­но­го зна­че­ния S опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию Паши.

 

За­да­ние 3

Ука­жи­те зна­че­ние S, при ко­то­ром:

    – у Васи есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия, поз­во­ля­ю­щая ему вы­иг­рать пер­вым или вто­рым ходом при любой игре Паши, и

    – у Васи нет стра­те­гии, ко­то­рая поз­во­лит ему га­ран­ти­ро­ван­но вы­иг­рать пер­вым ходом.

Для ука­зан­но­го зна­че­ния S опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию Васи.

По­строй­те де­ре­во всех пар­тий, воз­мож­ных при этой вы­иг­рыш­ной стра­те­гии Васи (в виде ри­сун­ка или таб­ли­цы). На рёбрах де­ре­ва ука­зы­вай­те, кто де­ла­ет ход, в узлах – ко­ли­че­ство кам­ней в куче.

 

Решение.

Задание 1:

а) Паша может выиграть в один ход, если количество камней в начальной куче S равно 28, 29, ..., 55. Для этого он просто удваивает количество камней, и в результате в куче будет не менее 56 камней.

б) Если S = 27, то Паша не может выиграть за один ход. В этом случае Вася может выиграть своим первым ходом, удваивая количество камней и достигая 54.

Задание 2:

Два таких значения S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия:

а) Паша не может выиграть за один ход, если S = 25. Он делает ход, добавляя один камень, и остается 26 камней в куче. Теперь Паша может выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Вася. При S = 26 аналогичная ситуация.

Задание 3:

Если S = 24, то:

Вася имеет выигрышную стратегию, позволяющую ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши. В этом случае он может выиграть первым ходом, удвоив количество камней до 48.
У Васи нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Дерево партий для значения S = 24:

Категория: по информатике | Просмотров: 1 | Рейтинг: 1.0/1