Два игрока, Паша и Вася, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество
камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 17 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 56. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 56 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 55.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.
Задание 1
а) Укажите все такие значения числа S, при которых Паша может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S.
б) Укажите такое значение S, при котором Паша не может выиграть за один ход, но при любом ходе Паши Вася может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Васи.
Задание 2
Укажите два таких значения S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём (а) Паша не может выиграть за один ход и (б) Паша может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вася. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Паши.
Задание 3
Укажите значение S, при котором:
– у Васи есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши, и
– у Васи нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Васи.
Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Васи (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах – количество камней в куче.
Решение.
Задание 1:
а) Паша может выиграть в один ход, если количество камней в начальной куче S равно 28, 29, ..., 55. Для этого он просто удваивает количество камней, и в результате в куче будет не менее 56 камней.
б) Если S = 27, то Паша не может выиграть за один ход. В этом случае Вася может выиграть своим первым ходом, удваивая количество камней и достигая 54.
Задание 2:
Два таких значения S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия:
а) Паша не может выиграть за один ход, если S = 25. Он делает ход, добавляя один камень, и остается 26 камней в куче. Теперь Паша может выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Вася. При S = 26 аналогичная ситуация.
Задание 3:
Если S = 24, то:
Вася имеет выигрышную стратегию, позволяющую ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши. В этом случае он может выиграть первым ходом, удвоив количество камней до 48. У Васи нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Дерево партий для значения S = 24: