menu
person

Задача №3240

Целые числа от 1 до n за­пи­са­ны в строч­ку. Под ними за­пи­са­ны те

Поиск задачи:

Целые числа от 1 до n за­пи­са­ны в строч­ку. Под ними за­пи­са­ны те же числа в дру­гом по­ряд­ке. Может ли слу­чить­ся так, что сумма каж­до­го числа и за­пи­сан­но­го под ним есть точ­ный квад­рат

а) при n = 9,

б) при n = 11,

в) при n = 1996.

 

Ре­ше­ние.

а) Сумма числа 9 и числа, за­пи­сан­но­го под ним, за­клю­че­на между 10 и 18. Так как на этом от­рез­ке есть толь­ко один точ­ный квад­рат, под чис­лом 9 долж­но быть за­пи­са­но число 7. Ана­ло­гич­но, число 7 долж­но быть за­пи­са­но над чис­лом 9. Также про­ве­ря­ет­ся, что под чис­ла­ми 4, 5 и 6 долж­ны быть за­пи­са­ны числа 5, 4 и 3 со­от­вет­ствен­но. Те­перь уже не­труд­но по­лу­чить ответ:

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 2 6 5 4 3 9 1 7

 

б) Не­труд­но ви­деть, что под чис­лом 11 может быть за­пи­са­но толь­ко число 5, но под чис­лом 4 тоже может быть за­пи­са­но толь­ко число 5. Про­ти­во­ре­чие.

в) Идея со­сто­ит в том, чтобы све­сти за­да­чу к ана­ло­гич­ной за­да­че для мень­ше­го n. За­пи­шем под чис­лом k число 2025 — k для всех k = 29, 30, ..., 1996. Тогда сумма чисел в каж­дом столб­це, на­чи­ная с 29-го, равна 452, а числа от 1 до 28 оста­лись «не­ис­поль­зо­ван­ны­ми». Зна­чит, за­да­ча сво­дит­ся к слу­чаю n = 28.

Далее под чис­ла­ми k = 21, 22, ..., 28 за­пи­шем числа 49 — k. За­да­ча све­лась к n = 20. Затем под чис­ла­миk = 16, 17, 18, 19, 20 за­пи­шем числа 36 — k. За­да­ча све­лась к слу­чаю n = 15 и, на­ко­нец, каж­до­му k = 1, 2, ..., 15 по­ста­вим в со­от­вет­ствие число 16 − k.

Категория: по математике | Добавил: Просмотров: 1 | Теги: последовательность, прогрессия | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0