menu
person

Задача №3259

Даны N синих и N крас­ных па­ло­чек, при­чем сумма длин синих па­ло­че

Поиск задачи:

Даны N синих и N крас­ных па­ло­чек, при­чем сумма длин синих па­ло­чек равна сумме длин крас­ных. Из­вест­но, что из синих па­ло­чек можно сло­жить N‐уголь­ник, и из крас­ных — тоже. Все­гда ли можно вы­брать одну синюю и одну крас­ную па­лоч­ки и пе­ре­кра­сить их (синюю — в крас­ный цвет, а крас­ную — в синий) так, что снова из синих па­ло­чек можно будет сло­жить N‐уголь­ник, и из крас­ных — тоже?

Ре­ши­те за­да­чу

а) для N = 3;

б) для про­из­воль­но­го на­ту­раль­но­го N > 3.

 

 

Ре­ше­ние.

а) Пусть длины синих па­ло­чек 12, 17, 20, а крас­ных — 2, 23, 24. По­сколь­ку един­ствен­ная пара с раз­но­стью, мень­шей 2, — это (23, 24), а после пе­ре­кра­ши­ва­ния па­лоч­ка 2 по­па­дет в дру­гую по со­ста­ву трой­ку, то в ней раз­ность наи­боль­ших сто­рон будет боль­ше 2, и тре­уголь­ник сло­жить будет нель­зя.

б) Пусть k = N − 2. Со­ста­вим набор из двух синих па­ло­чек длины 12k + 5 и 24k − 4 и k па­ло­чек длины 12; двух «длин­ных» крас­ных па­ло­чек длины 24k – 1 и 24k и k па­ло­чек длины 2/k. Если пе­ре­кра­ше­на одна из двух «длин­ных» крас­ных па­ло­чек, то раз­ность между длин­ны­ми крас­ны­ми па­лоч­ка­ми после пе­ре­кра­ши­ва­ния боль­ше 2, и па­лоч­ка­ми длины 2/k её не по­крыть. Пусть синей стала па­лоч­ка длины 2/k. Если па­лоч­ка длины 24k − 4 оста­лась синей, то сумма осталь­ных синих не пре­вос­хо­дит 2/k + 12(k − 1)−+ 12k + 5 < 24k − 4. Если па­лоч­ка длины 24k − 4 стала крас­ной, то наи­боль­шей синей стала па­лоч­ка длины 12k + 5, но сумма осталь­ных синих 12k +2/k < 12k + 5. В обоих слу­ча­ях синий мно­го­уголь­ник не скла­ды­ва­ет­ся.

 

Ответ: а) не все­гда б) не все­гда.

 
Категория: по математике | Добавил: Просмотров: 1 | Теги: Слож­ные задания | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0