menu
person

Задача №3387

Мно­же­ство А со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел. Ко­ли­че­ство чисел в

Поиск задачи:

Мно­же­ство А со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел. Ко­ли­че­ство чисел в А боль­ше семи. Наи­мень­шее общее крат­ное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наи­боль­ший общий де­ли­тель боль­ше еди­ни­цы. Про­из­ве­де­ние всех чисел из А де­лит­ся на 1920 и не яв­ля­ет­ся квад­ра­том ни­ка­ко­го це­ло­го числа. Найти числа, из ко­то­рых со­сто­ит А.

 

Ре­ше­ние.

Наи­мень­шее общее крат­ное чисел, со­став­ля­ю­щих мно­же­ство А. 210 = 2 · 3 · 5 · 7. По­это­му числа, со­став­ля­ю­щие мно­же­ство А — это де­ли­те­ли 210. Все де­ли­те­лей 16:

 

1,2,3,5,7,2 · 3,2 · 5,2 · 7,3 · 5,3 · 7,5 · 7,2 · 3 · 5,2 · 3 · 7,2 · 5 · 7,3 · 5 · 7,2 · 3 · 5 · 7

 

Каж­дый де­ли­тель со­дер­жит не более од­но­го мно­жи­те­ля 2. А про­из­ве­де­ние всех чисел из А де­лит­ся 1920 = 27 · 3 · 5. По­это­му среди чисел, со­став­ля­ю­щих А, долж­но быть, по край­ней мере семь чет­ных, а их всего во­семь:

 

2,2 · 3,2 · 5,2 · 7,2 · 3 · 5,2 · 3 · 7,2 · 5 · 7,2 · 3 · 5 · 7

 

Если число 2 вхо­дит в А, то любое дру­гое число из А долж­но де­лит­ся на 2. Зна­чит,

 

А={2,6,10,14,30,42,70,210},

 

но про­из­ве­де­ние этих чисел равно 28 · 34 · 54 · 74 = (24 · 32 · 52 · 72)2.

Зна­чит, 2 не вхо­дит в А, а числа

 

2 · 3,2 · 5,2 · 7,2 · 3 · 5,2 · 3 · 7,2 · 5 · 7,2 · 3 · 5 · 7

 

вхо­дят в А, но их всего семь. По­это­му этот набор нужно рас­ши­рить, до­бав­ляя де­ли­те­ли 210, не вза­им­но про­стые со всеми ука­зан­ны­ми семью чис­ла­ми. Такой де­ли­тель един­ствен­ный — 3 · 5 · 7.

 

Ответ: А = {6,10,14,30,42,70,105,210}

 
Категория: по математике | Добавил: Просмотров: 1 | Теги: Числа и их свойства | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0