На швейной фабрике все мастера работают с одинаковой производительностью. Пять стажеров и два мастера выполняют за 8 часов тот же объем работы, что семь стажеров и пять мастеров за 4 часа. Во сколько раз производительность мастера больше производительности стажера, если производительность всех стажеров одинаковая?
Решение:
Пусть \( m \) - производительность мастера (в работе за час), \( s \) - производительность стажера (в работе за час).
Из условия можно составить два уравнения:
1. За 8 часов работают 5 стажеров и 2 мастера: \[ 8(5s + 2m) = 1 \]
2. За 4 часа работают 7 стажеров и 5 мастеров: \[ 4(7s + 5m) = 1 \]
Теперь давайте решим эту систему уравнений для определения значений \( m \) и \( s \).
1. Уравнение 1: \[ 8(5s + 2m) = 1 \] \[ 40s + 16m = 1 \]
2. Уравнение 2: \[ 4(7s + 5m) = 1 \] \[ 28s + 20m = 1 \]
Составим систему уравнений: \[ \begin{align*} 40s + 16m &= 1 \\ 28s + 20m &= 1 \\ \end{align*} \]
Можно решить эту систему уравнений, например, методом подстановки или методом вычитания.
Для удобства, давайте выразим \( s \) из первого уравнения: \[ s = \frac{1 - 16m}{40} \]
Теперь подставим это значение \( s \) во второе уравнение: \[ 28\left(\frac{1 - 16m}{40}\right) + 20m = 1 \]
Раскроем скобки: \[ \frac{28 - 448m}{40} + 20m = 1 \]
Умножим обе стороны на 40, чтобы избавиться от дробей: \[ 28 - 448m + 800m = 40 \] \[ 352m = 12 \] \[ m = \frac{12}{352} \] \[ m \approx 0.0341 \]
Теперь, когда у нас есть значение \( m \), подставим его в выражение для \( s \): \[ s = \frac{1 - 16m}{40} \] \[ s = \frac{1 - 16 \cdot 0.0341}{40} \] \[ s \approx 0.9514 \]
Итак, производительность мастера \( m \) составляет примерно 0.0341 работы за час, а производительность стажера \( s \) составляет примерно 0.9514 работы за час.
Теперь вычислим, во сколько раз производительность мастера больше производительности стажера: \[ \frac{m}{s} \approx \frac{0.0341}{0.9514} \approx 0.0359 \]
Производительность мастера примерно в 0.0359 раз больше производительности стажера.