На уроке физкультуры учитель для эстафет разбивает всех учеников класса на равные группы, а те ученики, из которых нельзя сформировать полную группу, помогают ему судить эстафету. В классе 30 учеников. Первая эстафета была для групп по 4 ученика (соответственно, двое помогали судить), вторая – по 5 учеников (учитель судил один), третья – по 6, и т. д., последняя – по 13. Могло ли оказаться, что каждый ученик участвовал по крайней мере в 9 эстафетах (не в качестве судьи)?
Решение:
Давайте пересчитаем судейство с учетом того, что каждый ученик участвовал по крайней мере в 9 эстафетах (не в качестве судьи).
Всего было 10 эстафет, и каждая эстафета требовала участия некоторого числа учеников, плюс один учитель-судья.
Первая эстафета для групп по 4 ученика (судья не считается) - участвовало 4 ученика. Вторая эстафета для групп по 5 учеников (судья не считается) - участвовало 5 учеников. Третья эстафета для групп по 6 учеников (судья не считается) - участвовало 6 учеников. Четвертая эстафета для групп по 7 учеников (судья не считается) - участвовало 7 учеников. Пятая эстафета для групп по 8 учеников (судья не считается) - участвовало 8 учеников. Шестая эстафета для групп по 9 учеников (судья не считается) - участвовало 9 учеников. Седьмая эстафета для групп по 10 учеников (судья не считается) - участвовало 10 учеников. Восьмая эстафета для групп по 11 учеников (судья не считается) - участвовало 11 учеников. Девятая эстафета для групп по 12 учеников (судья не считается) - участвовало 12 учеников. Десятая эстафета для группы из 13 учеников (судья не считается) - участвовало 13 учеников. Теперь посчитаем общее количество учеников, которые участвовали в эстафетах: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 85 учеников.
В классе всего 30 учеников. Таким образом, нет возможности, чтобы каждый ученик участвовал по крайней мере в 9 эстафетах, так как количество учеников, превышает общее число учеников в классе.