menu
person

Задача №3278

Ска­жем, что ко­ло­да из 52 карт сло­же­на пра­виль­но, если любая пар

Поиск задачи:

Ска­жем, что ко­ло­да из 52 карт сло­же­на пра­виль­но, если любая пара ле­жа­щих рядом карт сов­па­да­ет по масти или по до­сто­ин­ству, то же верно для верх­ней и ниж­ней карты, и на­вер­ху лежит туз пик. До­ка­жи­те, что число спо­со­бов сло­жить ко­ло­ду пра­виль­но

а) де­лит­ся на 12!;

б) де­лит­ся на 13!.

 

Ре­ше­ние.

Оче­вид­но, пра­виль­но­му рас­по­ло­же­нию карт в ко­ло­де со­от­вет­ству­ет коль­це­вой обход ла­дьей (ко­то­рая может пры­гать через клет­ки!) доски 4 × 13 (го­ри­зон­та­ли со­от­вет­ству­ют ма­стям, а вер­ти­ка­ли — до­сто­ин­ствам), на­чи­на­ю­щий­ся и кон­ча­ю­щий­ся в клет­ке, со­от­вет­ству­ю­щей тузу пик (будем счи­тать, что это левый ниж­ний угол). Такой обход удоб­но за­ко­ди­ро­вать, за­ну­ме­ро­вав клет­ки от 1 до 52, где 1 стоит в левом ниж­нем углу, а любая пара со­сед­них но­ме­ров (вклю­чая 1 и 52) стоит в одной стро­ке или в одном столб­це.

а) Со­вер­шив любую из (12! − 1) не­три­ви­аль­ных пе­ре­ста­но­вок 12 пра­вых вер­ти­ка­лей, мы из дан­но­го об­хо­да по­лу­чим новый (дру­гая ну­ме­ра­ция!). Таким об­ра­зом, все об­хо­ды раз­би­ва­ют­ся на груп­пы по 12! об­хо­дов.

б) До­ста­точ­но до­ка­зать, что это число де­лит­ся на 13. Свер­нем доску в ци­линдр, скле­ив вер­ти­каль­ные сто­ро­ны. Любой из 12 воз­мож­ных по­во­ро­тов ци­лин­дра пе­ре­во­дит дан­ный обход в дру­гой, на­чи­на­ю­щий­ся уже не с «туза пик». Но по­сколь­ку он про­хо­дит через эту клет­ку, то его можно рас­смат­ри­вать как «пра­виль­ный обход» (со­от­вет­ству­ю­щую ну­ме­ра­цию можно по­лу­чить, сдви­нув все но­ме­ра на одно и то же число по мо­ду­лю 52 так, чтобы в левом ниж­нем углу ока­за­лась 1). Ниже мы по­ка­жем, что этот обход от­ли­ча­ет­ся от пер­во­на­чаль­но­го. Таким об­ра­зом, все об­хо­ды раз­би­ва­ют­ся на груп­пы по 13 об­хо­дов.

Вос­ста­но­вим про­пу­щен­ный мо­мент. Пусть при по­во­ро­те не­ко­то­рый обход пе­ре­хо­дит в себя. Рас­смот­рим любой го­ри­зон­таль­ный ход (он дол­жен быть). По­вто­рив по­во­рот 13 раз, видим, что из каж­дой клет­ки этой го­ри­зон­та­ли мы вы­хо­ди­ли по го­ри­зон­та­ли, то есть сме­нить эту масть нель­зя. Про­ти­во­ре­чие.

 
Категория: по математике | Добавил: Просмотров: 1 | Теги: Слож­ные задания | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0