Сумма полных лет Антона и Ксюши равна 30. Число полных лет Антона при делении на 5 дает остаток 1, а число полных лет Ксюши при делении на 5 дает остаток 4. Сколько лет Ксюше, если Антону больше 12 и меньше 20 лет?
Решение:
Пусть \( a \) - возраст Антона, \( k \) - возраст Ксюши.
Известно, что сумма их возрастов равна 30: \[ a + k = 30 \]
Также известно, что возраст Антона при делении на 5 дает остаток 1: \[ a \mod 5 = 1 \]
И возраст Ксюши при делении на 5 дает остаток 4: \[ k \mod 5 = 4 \]
Значит, возраст Антона может быть выражен как: \[ a = 5n + 1 \] где \( n \) - некоторое целое число.
Также, возраст Ксюши может быть выражен как: \[ k = 5m + 4 \] где \( m \) - некоторое целое число.
Суммируя первое уравнение и выражение для возрастов: \[ (5n + 1) + (5m + 4) = 30 \]
Упростим уравнение: \[ 5n + 5m + 5 = 30 \]
Делим обе стороны на 5: \[ n + m + 1 = 6 \]
Так как \( n \) и \( m \) - целые числа, и они оба больше или равны 0, то \( n + m + 1 \) может быть равно только 1 + 5 = 6.
Таким образом, единственное возможное значение для \( n + m \) равно 5.
Учитывая, что возраст Антона больше 12 и меньше 20 лет (согласно заданию), можно рассмотреть возможные пары значений \( (n, m) \): - \( n = 3 \), \( m = 2 \) (или наоборот: \( n = 2 \), \( m = 3 \)).
Подставляем в выражения для возрастов: - \( a = 5 \cdot 3 + 1 = 16 \) - \( k = 5 \cdot 2 + 4 = 14 \)
Итак, возраст Ксюши равен 14 лет.